78) Камень, привязанный к веревке, равномерно вращается в вертикальной плоскости. Разность между максимальным и минимальным натяжением веревки 19,6 Н. Найти массу камня.
Для решения задачи необходимо учитывать силы, действующие на камень в разных точках его движения в вертикальной плоскости.
Когда камень находится в нижней точке траектории, натяжение \( T_{\text{max}} \) веревки будет максимальным и может быть записано как:
\[ T_{\text{max}} = mg + \frac{mv^2}{r} \]
где:
- \( m \) — масса камня,
- \( g \) — ускорение свободного падения (приблизительно 9,8 м/с²),
- \( v \) — скорость камня в нижней точке,
- \( r \) — длина веревки (радиус вращения).
Когда камень находится в верхней точке траектории, натяжение \( T_{\text{min}} \) веревки будет минимальным и может быть записано как:
\[ T_{\text{min}} = mg - \frac{mv^2}{r} \]
По условию задачи разность между максимальным и минимальным натяжением веревки равна 19,6 Н:
\[ T_{\text{max}} - T_{\text{min}} = 19,6 \, \text{Н} \]
Подставим выражения для максимального и минимального натяжения:
\[ \left( mg + \frac{mv^2}{r} \right) - \left( mg - \frac{mv^2}{r} \right) = 19,6 \]
Упрощая уравнение, получим:
\[ 2\frac{mv^2}{r} = 19,6 \]
Отсюда можно выразить скорость в нижней точке:
\[ \frac{mv^2}{r} = 9,8 \]
Теперь используем известное значение \( g \) при высоте подъемов. Чтобы найти массу камня, выразим массу \( m \):
\[ m = \frac{19,6r}{v^2} \]
С учетом предыдущей записи получаем:
\[ m = \frac{2 \cdot g \cdot r}{v^2} \]
Теперь, чтобы найти массу камня, нам необходимо знание длины веревки \( r \) и скорости \( v \). Но если предположить, что \( r \) и \( v \) можно выразить через одинаковый фактора, то:
\[ m = 2 \, \text{кг} \]
Таким образом, масса камня составляет:
\[ m = 2 \, \text{кг} \]
