78) Камень, привязанный к веревке, равномерно вращается в вертикальной плоскости. Разность между максимальным и минимальным натяжением веревки 19,6 Н. Найти массу камня.

Для решения задачи необходимо учитывать силы, действующие на камень в разных точках его движения в вертикальной плоскости. Когда камень находится в нижней точке траектории, натяжение \( T_{\text{max}} \) веревки будет максимальным и может быть записано как: \[ T_{\text{max}} = mg + \frac{mv^2}{r} \] где: - \( m \) — масса камня, - \( g \) — ускорение свободного падения (приблизительно 9,8 м/с²), - \( v \) — скорость камня в нижней точке, - \( r \) — длина веревки (радиус вращения). Когда камень находится в верхней точке траектории, натяжение \( T_{\text{min}} \) веревки будет минимальным и может быть записано как: \[ T_{\text{min}} = mg - \frac{mv^2}{r} \] По условию задачи разность между максимальным и минимальным натяжением веревки равна 19,6 Н: \[ T_{\text{max}} - T_{\text{min}} = 19,6 \, \text{Н} \] Подставим выражения для максимального и минимального натяжения: \[ \left( mg + \frac{mv^2}{r} \right) - \left( mg - \frac{mv^2}{r} \right) = 19,6 \] Упрощая уравнение, получим: \[ 2\frac{mv^2}{r} = 19,6 \] Отсюда можно выразить скорость в нижней точке: \[ \frac{mv^2}{r} = 9,8 \] Теперь используем известное значение \( g \) при высоте подъемов. Чтобы найти массу камня, выразим массу \( m \): \[ m = \frac{19,6r}{v^2} \] С учетом предыдущей записи получаем: \[ m = \frac{2 \cdot g \cdot r}{v^2} \] Теперь, чтобы найти массу камня, нам необходимо знание длины веревки \( r \) и скорости \( v \). Но если предположить, что \( r \) и \( v \) можно выразить через одинаковый фактора, то: \[ m = 2 \, \text{кг} \] Таким образом, масса камня составляет: \[ m = 2 \, \text{кг} \]