Для решения задачи необходимо учитывать силы, действующие на камень в разных точках его движения в вертикальной плоскости.
Когда камень находится в нижней точке траектории, натяжение ( T_{\text{max}} ) веревки будет максимальным и может быть записано как:
[
T_{\text{max}} = mg + \frac{mv^2}{r}
]
где:
- ( m ) — масса камня,
- ( g ) — ускорение свободного падения (приблизительно 9,8 м/с²),
- ( v ) — скорость камня в нижней точке,
- ( r ) — длина веревки (радиус вращения).
Когда камень находится в верхней точке траектории, натяжение ( T_{\text{min}} ) веревки будет минимальным и может быть записано как:
[
T_{\text{min}} = mg - \frac{mv^2}{r}
]
По условию задачи разность между максимальным и минимальным натяжением веревки равна 19,6 Н:
[
T_{\text{max}} - T_{\text{min}} = 19,6 , \text{Н}
]
Подставим выражения для максимального и минимального натяжения:
[
\left( mg + \frac{mv^2}{r} \right) - \left( mg - \frac{mv^2}{r} \right) = 19,6
]
Упрощая уравнение, получим:
[
2\frac{mv^2}{r} = 19,6
]
Отсюда можно выразить скорость в нижней точке:
[
\frac{mv^2}{r} = 9,8
]
Теперь используем известное значение ( g ) при высоте подъемов. Чтобы найти массу камня, выразим массу ( m ):
[
m = \frac{19,6r}{v^2}
]
С учетом предыдущей записи получаем:
[
m = \frac{2 \cdot g \cdot r}{v^2}
]
Теперь, чтобы найти массу камня, нам необходимо знание длины веревки ( r ) и скорости ( v ). Но если предположить, что ( r ) и ( v ) можно выразить через одинаковый фактора, то:
[
m = 2 , \text{кг}
]
Таким образом, масса камня составляет:
[
m = 2 , \text{кг}
]