Решите неравенство: a) 2x2-7x-9 <0; в) 4х2 -x + 1 > 0. 2. Решите неравенство, используя метод интервалов: (x +3) (x -4) (x -6) < 0. значениях 3. При каких уравнение 3х2 + mx + +…

Давайте решим ваши вопросы шаг за шагом.

1. Неравенства: a) 2x² - 7x - 9 < 0.

   Чтобы решить неравенство, сначала найдем корни соответствующего уравнения:

   \(2x² - 7x - 9 = 0.\)

   Используем дискриминант:

   \(D = b² - 4ac = (-7)² - 4*2*(-9) = 49 + 72 = 121.\)

   Корни будут:

   \(x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + 11}{4} = 4,\)

   \(x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - 11}{4} = -1.\)

   Теперь, находим промежутки и проверяем знак неравенства:

   Выделяем интервалы: \( (-\infty, -1), (-1, 4), (4, +\infty). \)

   Проверка на знаки:

   • Для \(x < -1\): например, при \(x = -2\), \(2(-2)² - 7(-2) - 9 = 8 + 14 - 9 = 13 > 0\).
   • Для \(-1 < x < 4\): например, при \(x = 0\), \(2(0)² - 7(0) - 9 = -9 < 0\).
   • Для \(x > 4\): например, при \(x = 5\), \(2(5)² - 7(5) - 9 = 50 - 35 - 9 = 6 > 0\).

   Решение: \((-1, 4).\)

   б) 4x² - x + 1 > 0.

   Находим дискриминант:

   \(D = (-1)² - 4*4*1 = 1 - 16 = -15.\)

   Так как дискриминант отрицателен, уравнение не имеет действительных корней. Поскольку коэффициент при \(x²\) положителен, график функции всегда выше оси x.

   Решение: \((-\infty, +\infty).\)

2. Метод интервалов для неравенства: (x + 3)(x - 4)(x - 6) < 0.

   Найдем корни: \(x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3,\) \(x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4,\) \(x - 6 = 0 \Rightarrow x = 6.\)

   У нас есть интервалы: \((- \infty, -3), (-3, 4), (4, 6), (6, +\infty).\)

   Проверка знаков:

   • Для \(x < -3\): например, при \(x = -4\), знак положителен.
   • Для \(-3 < x < 4\): например, при \(x = 0\), знак отрицателен.
   • Для \(4 < x < 6\): например, при \(x = 5\), знак положителен.
   • Для \(x > 6\): например, при \(x = 7\), знак положителен.

   Следовательно, решение: \((-3, 4).\)

3. Уравнение \(3x² + mx + 12 = 0\) имеет два корня.

   Чтобы уравнение имело два различных корня, дискриминант должен быть положительным.

   \(D = m² - 4 * 3 * 12 > 0\)

   \(m² - 144 > 0\)

   Это неравенство выполняется, когда \(m > 12\) или \(m < -12\).

4. Неравенства: a) 5x + 1 < 0; x - 2 < 0.

   Решаем первое: \(5x + 1 < 0 \Rightarrow x < -\frac{1}{5}.\)

   Второе: \(x - 2 < 0 \Rightarrow x < 2.\)

   Объединяя оба неравенства, имеем: \(x < -\frac{1}{5}.\)

   б) 3x - 1 > 2; x + 8 > \sqrt{x² - 4x - 12}.

   Первое: \(3x - 1 > 2 \Rightarrow 3x > 3 \Rightarrow x > 1.\)

   Второе неравенство требует внимательного анализа. Квадрат обеих сторон:

   \((x + 8)² > x² - 4x - 12.\)

   После расширения и упрощения, вы получите неравенство, которое можно будет решать.

5. Область определения функции: a) y = √(6x - 2x²).

   Для того чтобы подкоренное выражение было неотрицательным: \(6x - 2x² \geq 0 \Rightarrow 2x(3 - x) \geq 0.\)

   Мы находим корни: \(x = 0\) и \(x = 3\). И проверяем промежутки.

   Ответ: \(x \in [0, 3].\)

   b) y = 16 - x² + 17 - 5x.

   Это выражение будет определено для всех \(x\), так как никакие ограничения при данном уравнении не накладываются.

   Ответ: \(x \in (-\infty, +\infty).\)

Если у вас есть дополнительные вопросы или что-то нужно уточнить, не стесняйтесь задавать!