Решите неравенство: a) 2x2-7x-9 <0; в) 4х2 -x + 1 > 0. 2. Решите неравенство, используя метод интервалов: (x +3) (x -4) (x -6) < 0. значениях 3. При каких уравнение 3х2 + mx + + 12 = 0 имеет два корня? 4. Решите неравенство: 5x+1 x-2<0; 3x-1 >2. x+8 √x²-4x-12 б) у 2x-18 5. Найдите область определения функции: a) y = √6x-2x²; B) у = 16-x2 + 17-5x.
Давайте решим ваши вопросы шаг за шагом.
1. **Неравенства:**
a) **2x² - 7x - 9 < 0.**
Чтобы решить неравенство, сначала найдем корни соответствующего уравнения:
\(2x² - 7x - 9 = 0.\)
Используем дискриминант:
\(D = b² - 4ac = (-7)² - 4*2*(-9) = 49 + 72 = 121.\)
Корни будут:
\(x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + 11}{4} = 4,\)
\(x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - 11}{4} = -1.\)
Теперь, находим промежутки и проверяем знак неравенства:
Выделяем интервалы: \( (-\infty, -1), (-1, 4), (4, +\infty). \)
Проверка на знаки:
- Для \(x < -1\): например, при \(x = -2\), \(2(-2)² - 7(-2) - 9 = 8 + 14 - 9 = 13 > 0\).
- Для \(-1 < x < 4\): например, при \(x = 0\), \(2(0)² - 7(0) - 9 = -9 < 0\).
- Для \(x > 4\): например, при \(x = 5\), \(2(5)² - 7(5) - 9 = 50 - 35 - 9 = 6 > 0\).
Решение: \((-1, 4).\)
б) **4x² - x + 1 > 0.**
Находим дискриминант:
\(D = (-1)² - 4*4*1 = 1 - 16 = -15.\)
Так как дискриминант отрицателен, уравнение не имеет действительных корней. Поскольку коэффициент при \(x²\) положителен, график функции всегда выше оси x.
Решение: \((-\infty, +\infty).\)
2. **Метод интервалов для неравенства:**
**(x + 3)(x - 4)(x - 6) < 0.**
Найдем корни: \(x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3,\) \(x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4,\) \(x - 6 = 0 \Rightarrow x = 6.\)
У нас есть интервалы: \((- \infty, -3), (-3, 4), (4, 6), (6, +\infty).\)
Проверка знаков:
- Для \(x < -3\): например, при \(x = -4\), знак положителен.
- Для \(-3 < x < 4\): например, при \(x = 0\), знак отрицателен.
- Для \(4 < x < 6\): например, при \(x = 5\), знак положителен.
- Для \(x > 6\): например, при \(x = 7\), знак положителен.
Следовательно, решение: \((-3, 4).\)
3. **Уравнение \(3x² + mx + 12 = 0\) имеет два корня.**
Чтобы уравнение имело два различных корня, дискриминант должен быть положительным.
\(D = m² - 4 * 3 * 12 > 0\)
\(m² - 144 > 0\)
Это неравенство выполняется, когда \(m > 12\) или \(m < -12\).
4. **Неравенства:**
a) **5x + 1 < 0; x - 2 < 0.**
Решаем первое:
\(5x + 1 < 0 \Rightarrow x < -\frac{1}{5}.\)
Второе:
\(x - 2 < 0 \Rightarrow x < 2.\)
Объединяя оба неравенства, имеем: \(x < -\frac{1}{5}.\)
б) **3x - 1 > 2; x + 8 > \sqrt{x² - 4x - 12}.**
Первое:
\(3x - 1 > 2 \Rightarrow 3x > 3 \Rightarrow x > 1.\)
Второе неравенство требует внимательного анализа. Квадрат обеих сторон:
\((x + 8)² > x² - 4x - 12.\)
После расширения и упрощения, вы получите неравенство, которое можно будет решать.
5. **Область определения функции:**
a) **y = √(6x - 2x²).**
Для того чтобы подкоренное выражение было неотрицательным:
\(6x - 2x² \geq 0 \Rightarrow 2x(3 - x) \geq 0.\)
Мы находим корни: \(x = 0\) и \(x = 3\). И проверяем промежутки.
Ответ: \(x \in [0, 3].\)
b) **y = 16 - x² + 17 - 5x.**
Это выражение будет определено для всех \(x\), так как никакие ограничения при данном уравнении не накладываются.
Ответ: \(x \in (-\infty, +\infty).\)
Если у вас есть дополнительные вопросы или что-то нужно уточнить, не стесняйтесь задавать!
