Дано: ABC - выпуклый

Давайте решим задачу шаг за шагом.

1. Даные: У нас есть выпуклый треугольник ABC, где угол A равен 30°, угол B равен 45°, а сторона BC равна 10.

2. Найдем угол C: Сумма всех углов в треугольнике равна 180°. Таким образом, угол C можно найти по формуле: \[ C = 180° - A - B = 180° - 30° - 45° = 105°. \]

3. Теперь найдем стороны AC и AB. Для этого будем использовать закон синусов, который говорит, что отношение стороны треугольника к синусу противоположного угла равно постоянной величине для всех сторон. Обозначим стороны следующим образом:

   • \( a = BC = 10 \) (сторона, противоположная углу A)
   • \( b = AC \) (сторона, противоположная углу B)
   • \( c = AB \) (сторона, противоположная углу C)

   По закону синусов: \[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}. \]

   Подставляем известные значения: \[ \frac{10}{\sin 30°} = \frac{b}{\sin 45°} = \frac{c}{\sin 105°}. \]

   Зная, что \(\sin 30° = 0.5\), \(\sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}\), и \(\sin 105° = \sin(90° + 15°) = \sin 15°\), но проще использовать другую формулу для \(\sin 105° = \sin(180° - 75°) = \sin 75° = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\).

4. Теперь мы можем найти b и c: \[ \frac{10}{0.5} = 20 \quad \Rightarrow \quad \frac{b}{\frac{\sqrt{2}}{2}} \quad \Rightarrow \quad b = 20 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 10\sqrt{2}. \]

   Для стороны c: \[ \frac{10}{0.5} = 20 \quad \Rightarrow \quad \frac{c}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} \quad \Rightarrow \quad c = 20 \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} = 5(\sqrt{6} + \sqrt{2}). \]

Таким образом, мы получили следующие результаты:

• \(AC = 10\sqrt{2} \approx 14.14\),
• \(C = 105°\),
• \(AB = 5(\sqrt{6} + \sqrt{2}) \approx 21.07\).

Если есть дополнительные вопросы или что-то непонятно, не стесняйтесь спрашивать!