Основания равнобедренной трапеции равны
15 и 35
Косинус острого угла трапеции равен
5/9. Найдите боковую сторону.
Для нахождения боковой стороны равнобедренной трапеции можно воспользоваться некоторыми геометрическими свойствами и тригонометрией.
Обозначим:
- основания равнобедренной трапеции \( AB = 35 \) и \( CD = 15 \),
- боковую сторону трапеции \( AD = BC = x \),
- высоту трапеции \( h \),
- угол \( \alpha \) между боковой стороной и высотой, и косинус этого угла \( \cos(\alpha) = \frac{5}{9} \).
1. Найдем разницу между основаниями:
\[
AB - CD = 35 - 15 = 20.
\]
Поскольку трапеция равнобедренная, эта разница делится на 2, при этом будет образовано два отрезка на основаниях, каждый длиной:
\[
\frac{20}{2} = 10.
\]
Таким образом, отрезки, соединяющие основание с боковыми сторонами, будут равны 10.
2. Теперь применим тригонометрические функции для нахождения высоты \( h \):
Мы знаем, что
\[
\cos(\alpha) = \frac{h}{x}.
\]
Следовательно,
\[
h = x \cdot \cos(\alpha) = x \cdot \frac{5}{9}.
\]
3. Подсчитаем сторону \( x \) через прямоугольные треугольники и Пифагорову теорему. В каждом треугольнике, образованном высотой и боковой стороной, стороны будут равны:
- высота \( h \),
- катет, равный 10 (половина разности оснований),
- гипотенуза \( x \) (боковая сторона).
По теореме Пифагора имеем:
\[
x^2 = h^2 + 10^2.
\]
Подставляем значение \( h \):
\[
x^2 = \left(x \cdot \frac{5}{9}\right)^2 + 10^2.
\]
Решим уравнение:
\[
x^2 = x^2 \cdot \frac{25}{81} + 100.
\]
Приведем к общему знаменателю (81):
\[
81x^2 = 25x^2 + 8100.
\]
Соберем все члены в одну сторону:
\[
81x^2 - 25x^2 = 8100,
\]
\[
56x^2 = 8100.
\]
Теперь решим уравнение для \( x^2 \):
\[
x^2 = \frac{8100}{56} = 144.64.
\]
И найдем \( x \):
\[
x \approx \sqrt{144.64} \approx 12.03.
\]
Таким образом, боковая сторона равнобедренной трапеции примерно равна \( 12.03 \) единиц.