Для решения этой задачи давайте обозначим:
- Пусть второй рабочий производит ( x ) деталей за час.
- Тогда первый рабочий, согласно условию, производит ( x + 5 ) деталей за час.
Исходя из условия задачи, первый рабочий выполняет заказ из 360 деталей на 1 час быстрее второго рабочего. Это означает, что время, необходимое для первого рабочего, будет на 1 час меньше, чем время, необходимое для второго рабочего.
Теперь найдем время, необходимое каждому рабочему для выполнения заказа:
Время, необходимое второму рабочему:
[
t_2 = \frac{360}{x}
]
Время, необходимое первому рабочему:
[
t_1 = \frac{360}{x + 5}
]
Согласно условию, можем записать уравнение:
[
t_2 - t_1 = 1
]
Подставим выражения для времени:
[
\frac{360}{x} - \frac{360}{x + 5} = 1
]
Теперь приведем дроби к общему знаменателю:
[
\frac{360(x + 5) - 360x}{x(x + 5)} = 1
]
Упростим числитель:
[
\frac{360x + 1800 - 360x}{x(x + 5)} = 1
]
[
\frac{1800}{x(x + 5)} = 1
]
Перемножим обе стороны уравнения на ( x(x + 5) ):
[
1800 = x(x + 5)
]
Теперь раскроем скобки:
[
1800 = x^2 + 5x
]
Приведем все к нулю:
[
x^2 + 5x - 1800 = 0
]
Теперь нужно решить квадратное уравнение. Используем дискриминант:
[
D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1800) = 25 + 7200 = 7225
]
Теперь найдем корни:
[
x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 \pm \sqrt{7225}}{2}
]
[
\sqrt{7225} = 85
]
Находим:
[
x = \frac{-5 + 85}{2} = \frac{80}{2} = 40
]
или
[
x = \frac{-5 - 85}{2} = \frac{-90}{2} = -45 \quad (\text{не имеет смысла})
]
Таким образом, второй рабочий производит 40 деталей за час. Первый рабочий будет производить:
[
x + 5 = 40 + 5 = 45 \text{ деталей за час.}
]
Ответ: Первый рабочий производит 45 деталей за час, а второй — 40 деталей за час.
