Периметр правильного шестиугольника, вписанного в окружность, равен 24 см. Найти площадь квадрата, вписанного в ту же окружность

Для решения задачи сначала найдем сторону правильного шестиугольника. Периметр правильного шестиугольника равен \(24\) см. Так как шестиугольник состоит из 6 равных сторон, длина одной стороны \(s\) будет равна: \[ s = \frac{P}{6} = \frac{24}{6} = 4 \text{ см}. \] Теперь мы можем найти радиус окружности, описанной вокруг этого шестиугольника. Для правильного шестиугольника радиус \(R\) окружности равен длине его стороны: \[ R = s = 4 \text{ см}. \] Теперь найдем площадь квадрата, вписанного в ту же окружность. Радиус вписанной окружности квадрата равен \(R\). Площадь квадрата может быть выражена через его стороны. Если \(a\) — сторона квадрата, то радиус описанной окружности \(R\) связан с длиной стороны квадрата следующим образом: \[ R = \frac{a\sqrt{2}}{2}. \] Отсюда выразим сторону квадрата через радиус: \[ a = R \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = R\sqrt{2}. \] Подставим \(R = 4\) см: \[ a = 4\sqrt{2} \text{ см}. \] Теперь найдем площадь квадрата: \[ S = a^2 = (4\sqrt{2})^2 = 16 \cdot 2 = 32 \text{ см}^2. \] Таким образом, площадь квадрата, вписанного в окружность, равна \(32\) см².