Чтобы решить задачу, можно воспользоваться формулой для периода колебаний математического маятника:
[ T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}} ]
где:
- ( T ) — период колебаний,
- ( L ) — длина маятника,
- ( g ) — ускорение свободного падения.
Мы знаем, что период колебаний связан с частотой ( f ) следующим образом:
[ f = \frac{1}{T} ]
Сначала найдем периоды колебаний обоих маятников. Пусть ( T_1 ) и ( T_2 ) — это периоды первого и второго маятников соответственно. Из условия задачи:
Первый маятник совершает 40 колебаний за время ( t ):
[ f_1 = \frac{40}{t}, ]
[ T_1 = \frac{t}{40}. ]
Второй маятник совершает 60 колебаний за то же время ( t ):
[ f_2 = \frac{60}{t}, ]
[ T_2 = \frac{t}{60}. ]
Теперь подставим выражения для периодов в формулу для длины маятников:
Для первого маятника:
[ T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{L_1}{g}} \Rightarrow L_1 = \frac{g T_1^2}{4\pi^2} ]
Для второго маятника:
[ T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{L_2}{g}} \Rightarrow L_2 = \frac{g T_2^2}{4\pi^2} ]
Теперь найдём отношение ( \frac{L_1}{L_2} ):
[
\frac{L_1}{L_2} = \frac{\frac{g T_1^2}{4\pi^2}}{\frac{g T_2^2}{4\pi^2}} = \frac{T_1^2}{T_2^2}
]
Теперь подставим найденные значения ( T_1 ) и ( T_2 ):
[
\frac{L_1}{L_2} = \frac{\left(\frac{t}{40}\right)^2}{\left(\frac{t}{60}\right)^2} = \frac{\frac{t^2}{1600}}{\frac{t^2}{3600}} = \frac{3600}{1600} = \frac{36}{16} = \frac{9}{4}
]
Таким образом, отношение длины первого маятника к длине второго составляет:
[
\frac{L_1}{L_2} = \frac{9}{4}
]
Это означает, что длина первого маятника в 9/4 (или 2.25) раза больше длины второго.
