Cos(3П/2 + 2x)=cosx укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку [5П/2 ; 4П]

Для решения уравнения \(\cos\left(\frac{3\pi}{2} + 2x\right) = \cos(x)\) нам нужно использовать свойства косинуса и тригонометрические тождества. Сначала воспользуемся формулой косинуса суммы: \[ \cos\left(\frac{3\pi}{2} + 2x\right) = \cos\left(\frac{3\pi}{2}\right)\cos(2x) - \sin\left(\frac{3\pi}{2}\right)\sin(2x). \] Зная значения: \(\cos\left(\frac{3\pi}{2}\right) = 0\) и \(\sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -1\), мы можем упростить: \[ \cos\left(\frac{3\pi}{2} + 2x\right) = 0 \cdot \cos(2x) - (-1) \sin(2x) = \sin(2x). \] Таким образом, уравнение преобразуется в: \[ \sin(2x) = \cos(x). \] Теперь воспользуемся тождеством \(\cos(x) = \sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right)\): \[ \sin(2x) = \sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right). \] Решение этого уравнения приведет к двум случаям: 1. \(2x = \frac{\pi}{2} - x + 2k\pi\) 2. \(2x = \pi - \left(\frac{\pi}{2} - x\right) + 2k\pi\) Решим первый случай: \[ 3x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \Rightarrow x = \frac{\pi}{6} + \frac{2k\pi}{3}. \] Решим второй случай: \[ 2x = \pi - \frac{\pi}{2} + x + 2k\pi \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi. \] Теперь найдем корни, принадлежащие отрезку \([5\pi/2 ; 4\pi]\). Для первого случая: \[ x = \frac{\pi}{6} + \frac{2k\pi}{3}. \] Подставим разные значения \(k\): - Для \(k = 3\): \[ x = \frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{\pi}{6} + \frac{12\pi}{6} = \frac{13\pi}{6} \approx 6.8 \text{ (больше } 5\pi/2, \text{ но меньше } 4\pi). \] - Для \(k = 4\): \[ x = \frac{\pi}{6} + \frac{8\pi}{3} = \frac{\pi}{6} + \frac{16\pi}{6} = \frac{17\pi}{6} \approx 8.9 \text{ (больше } 4\pi). \] Корни из первого случая: \(x = \frac{13\pi}{6}\). Для второго случая: \[ x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi. \] Подставим разные значения \(k\): - Для \(k = 1\): \[ x = \frac{\pi}{2} + 2\pi = \frac{5\pi}{2} \text{ (равно нижней границе отрезка)}. \] - Для \(k = 2\): \[ x = \frac{\pi}{2} + 4\pi = \frac{9\pi}{2} \text{ (больше } 4\pi). \] Корни из второго случая: \(x = \frac{5\pi}{2}\). Таким образом, корни уравнения, принадлежащие отрезку \([5\pi/2 ; 4\pi]\): \[ x = \frac{5\pi}{2}, \quad x = \frac{13\pi}{6}. \]