cos(3П/2 + 2x)=cosx укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку [5П/2 ; 4П]

Для решения уравнения \(\cos\left(\frac{3\pi}{2} + 2x\right) = \cos(x)\) нам нужно использовать свойства косинуса и тригонометрические тождества.

Сначала воспользуемся формулой косинуса суммы:

\[ \cos\left(\frac{3\pi}{2} + 2x\right) = \cos\left(\frac{3\pi}{2}\right)\cos(2x) - \sin\left(\frac{3\pi}{2}\right)\sin(2x). \]

Зная значения: \(\cos\left(\frac{3\pi}{2}\right) = 0\) и \(\sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -1\), мы можем упростить:

\[ \cos\left(\frac{3\pi}{2} + 2x\right) = 0 \cdot \cos(2x) - (-1) \sin(2x) = \sin(2x). \]

Таким образом, уравнение преобразуется в:

\[ \sin(2x) = \cos(x). \]

Теперь воспользуемся тождеством \(\cos(x) = \sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right)\):

\[ \sin(2x) = \sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right). \]

Решение этого уравнения приведет к двум случаям:

1. \(2x = \frac{\pi}{2} - x + 2k\pi\)
2. \(2x = \pi - \left(\frac{\pi}{2} - x\right) + 2k\pi\)

Решим первый случай:

\[ 3x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \Rightarrow x = \frac{\pi}{6} + \frac{2k\pi}{3}. \]

Решим второй случай:

\[ 2x = \pi - \frac{\pi}{2} + x + 2k\pi \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi. \]

Теперь найдем корни, принадлежащие отрезку \([5\pi/2 ; 4\pi]\).

Для первого случая:

\[ x = \frac{\pi}{6} + \frac{2k\pi}{3}. \]

Подставим разные значения \(k\):

• Для \(k = 3\): \[ x = \frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{\pi}{6} + \frac{12\pi}{6} = \frac{13\pi}{6} \approx 6.8 \text{ (больше } 5\pi/2, \text{ но меньше } 4\pi). \]
• Для \(k = 4\): \[ x = \frac{\pi}{6} + \frac{8\pi}{3} = \frac{\pi}{6} + \frac{16\pi}{6} = \frac{17\pi}{6} \approx 8.9 \text{ (больше } 4\pi). \]

Корни из первого случая: \(x = \frac{13\pi}{6}\).

Для второго случая:

\[ x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi. \]

Подставим разные значения \(k\):

• Для \(k = 1\): \[ x = \frac{\pi}{2} + 2\pi = \frac{5\pi}{2} \text{ (равно нижней границе отрезка)}. \]
• Для \(k = 2\): \[ x = \frac{\pi}{2} + 4\pi = \frac{9\pi}{2} \text{ (больше } 4\pi). \]

Корни из второго случая: \(x = \frac{5\pi}{2}\).

Таким образом, корни уравнения, принадлежащие отрезку \([5\pi/2 ; 4\pi]\):

\[ x = \frac{5\pi}{2}, \quad x = \frac{13\pi}{6}. \]