Для решения задачи нам нужно определить объем цилиндра, описанного около шара, известного объема. Объем шара ( V ) можно выразить формулой:
[
V = \frac{4}{3} \pi r^3
]
где ( r ) — радиус шара. Из условия, объем шара равен 24:
[
\frac{4}{3} \pi r^3 = 24
]
Сначала найдем радиус ( r ). Умножим обе стороны уравнения на ( \frac{3}{4} ):
[
\pi r^3 = 18
]
Теперь поделим обе стороны на ( \pi ):
[
r^3 = \frac{18}{\pi}
]
Теперь извлечем кубический корень из обеих сторон:
[
r = \sqrt[3]{\frac{18}{\pi}}
]
Цилиндр, описанный около шара, имеет высоту, равную диаметру шара ( 2r ), и радиус основания цилиндра, равный радиусу шара ( r ). Объем цилиндра ( V_{\text{цил}} ) можно найти по формуле:
[
V_{\text{цил}} = \pi r^2 h
]
где ( h = 2r ). Подставим ( h ) в формулу объема цилиндра:
[
V_{\text{цил}} = \pi r^2 \cdot 2r = 2\pi r^3
]
Теперь подставим значение ( r^3 ):
[
V_{\text{цил}} = 2\pi \left(\frac{18}{\pi}\right) = 36
]
Таким образом, объем цилиндра, описанного около шара, равен ( 36 ) кубических единиц.
