баржа прошла по течению реки 51 км и, повернув обратно, прошла ещё 36км, затратив на весь путь 7часов. найдите собственную скорость баржи, если скорость течения реки равна 4 км/ч
Чтобы решить эту задачу, давайте обозначим собственную скорость баржи как \( v \) км/ч.
Скорость баржи по течению: Когда баржа движется по течению реки, её скорость складывается со скоростью течения. Тогда скорость баржи по течению будет равна \( v + 4 \) км/ч.
Скорость баржи против течения: Когда баржа движется против течения, её скорость уменьшается на скорость течения. Таким образом, скорость баржи против течения будет равна \( v - 4 \) км/ч.
Теперь определим время, которое баржа потратила на каждую часть пути:
Расстояние по течению: 51 км \[ t_1 = \frac{51}{v + 4} \]
Расстояние против течения: 36 км \[ t_2 = \frac{36}{v - 4} \]
Сложим эти два времени и укажем, что общее время пути равно 7 часам: \[ t_1 + t_2 = 7 \]
Подставим выражения для \( t_1 \) и \( t_2 \): \[ \frac{51}{v + 4} + \frac{36}{v - 4} = 7 \]
Теперь умножим уравнение на общий знаменатель \((v + 4)(v - 4)\) для упрощения: \[ 51(v - 4) + 36(v + 4) = 7(v + 4)(v - 4) \]
Распределим множители на левой стороне: \[ 51v - 204 + 36v + 144 = 7(v^2 - 16) \]
Соберём все члены и упростим: \[ 87v - 60 = 7v^2 - 112 \]
Переместим все в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: \[ 7v^2 - 87v - 52 = 0 \]
Теперь можем использовать дискриминант для решения квадратного уравнения: \[ D = b^2 - 4ac = (-87)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-52) \] \[ D = 7569 + 1456 = 9025 \]
Теперь найдем корни уравнения: \[ v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{87 \pm 95}{14} \]
Находим два возможных решения:
- \( v_1 = \frac{182}{14} = 13 \) км/ч
- \( v_2 = \frac{-8}{14} \) (это отрицательное значение, нецелесообразно).
Таким образом, собственная скорость баржи равна \( 13 \) км/ч.
