Для решения задачи начнем с обозначения переменных:
- Пусть ( v ) — скорость теплохода в неподвижной воде (км/ч).
- Скорость течения реки ( u = 1 ) км/ч.
Когда теплоход движется по течению, его скорость составляет ( v + u = v + 1 ) км/ч, а при движении против течения — ( v - u = v - 1 ) км/ч.
По условиям задачи, расстояние до пункта назначения составляет 255 км. Время, затраченное на путь по течению, можно выразить как:
[
t_1 = \frac{255}{v + 1}
]
Затем теплоход стоит 2 часа, и возвращается обратно, т.е. время, затраченное на путь против течения, равно:
[
t_2 = \frac{255}{v - 1}
]
Суммарное время, проведенное с момента выхода и до возвращения, равно ( 34 ) часа:
[
t_1 + 2 + t_2 = 34
]
Подставим значения ( t_1 ) и ( t_2 ):
[
\frac{255}{v + 1} + 2 + \frac{255}{v - 1} = 34
]
Упростим уравнение:
[
\frac{255}{v + 1} + \frac{255}{v - 1} = 32
]
Теперь умножим всё уравнение на общий знаменатель ( (v + 1)(v - 1) ):
[
255(v - 1) + 255(v + 1) = 32(v^2 - 1)
]
Упрощая это, получаем:
[
255v - 255 + 255v + 255 = 32v^2 - 32
]
Это можно упростить до:
[
510v = 32v^2 - 32
]
Переносим все на одну сторону:
[
32v^2 - 510v - 32 = 0
]
Теперь можем решить это квадратное уравнение. Применим формулу для нахождения корней ( v = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ), где ( a = 32, b = -510, c = -32 ):
Сначала находим дискриминант:
[
D = (-510)^2 - 4 \cdot 32 \cdot (-32) = 260100 + 4096 = 264196.
]
Теперь находим корни:
[
v = \frac{510 \pm \sqrt{264196}}{64}.
]
Вычисляем корень:
[
\sqrt{264196} \approx 514.14.
]
Теперь вычислим ( v ):
[
v_1 = \frac{510 + 514.14}{64} \approx \frac{1024.14}{64} \approx 16.01,
]
[
v_2 = \frac{510 - 514.14}{64} \approx \frac{-4.14}{64} \approx -0.065.
]
Поскольку скорость не может быть отрицательной, принимаем ( v \approx 16 ) км/ч.
Таким образом, скорость теплохода в неподвижной воде составляет примерно 16 км/ч.
