Давайте разберем каждый из ваших вопросов по очереди.
- Определите, какая температура установится в баллоне после выпуска газа.
Для решения задачи используем уравнение состояния идеального газа: (PV = nRT), где (P) — давление, (V) — объем, (n) — количество вещества в молях, (R) — универсальная газовая постоянная, (T) — температура в Кельвинах.
Изначально, в баллоне:
- Давление (P_1 = 3 \cdot 10^5) Па,
- Температура (T_1 = 27 , °C = 300 , K),
- Объем (V) остается постоянным.
После того как вы выпустили ⅓ газа, количество газа уменьшилось, и новое давление стало: (P_2 = 1.8 \cdot 10^5) Па. Количество газа после выпуска ⅓ остается ⅔ от первоначального, то есть (n_2 = \frac{2}{3}n_1).
Теперь, используя уравнение состояния газа до и после выпуска газа:
[ P_1 V = n_1 R T_1 ]
[ P_2 V = n_2 R T_2 ]
Вместо (n_2) подставим:
[ P_2 V = \left(\frac{2}{3}n_1\right) R T_2 ]
Теперь подставим (n_1) из первого уравнения:
[ P_2 V = \left(\frac{2}{3}\frac{P_1 V}{RT_1}\right) R T_2 ]
Сокращаем (V) и (R):
[ P_2 = \frac{2}{3} \frac{P_1 T_2}{T_1} ]
Теперь подставим известные значения:
[ 1.8 \cdot 10^5 = \frac{2}{3} \cdot \frac{3 \cdot 10^5 \cdot T_2}{300} ]
Упростим уравнение:
[ 1.8 \cdot 10^5 \cdot 300 = 2 \cdot 10^5 \cdot T_2 ]
[ 54000 \cdot 10^5 = 2 \cdot 10^5 \cdot T_2 ]
[ T_2 = \frac{54000 \cdot 10^5}{2 \cdot 10^5} ]
[ T_2 = 270 , K ]
Конвертируем в градусы Цельсия:
[ T_2 = 270 - 273 = -3 , °C ]
Таким образом, температура в баллоне установится на уровне -3 °C.
- Чему равен объем газа при нормальных условиях?
Мы знаем, что газ при температуре 50 °C и давлении (1.8 \cdot 10^5) Па занимает объем 0.5 м³. Нам нужно найти объем при нормальных условиях (0 °C и 1 атм, что равно 101325 Па).
Используем уравнение состояния газа. Отношение объемов при двух различных состояниях:
[ \frac{P_1 V_1}{T_1} = \frac{P_2 V_2}{T_2} ]
Здесь:
- (P_1 = 1.8 \cdot 10^5, Pa) и (T_1 = 50 + 273 = 323 , K)
- (P_2 = 101325, Pa) и (T_2 = 0 + 273 = 273 , K)
- (V_1 = 0.5, м³), (V_2) — это то, что нам нужно найти.
Подставим известные значения в формулу:
[ \frac{1.8 \cdot 10^5 \cdot 0.5}{323} = \frac{101325 \cdot V_2}{273} ]
Теперь решим для (V_2):
[ V_2 = \frac{(1.8 \cdot 10^5 \cdot 0.5 \cdot 273)}{(323 \cdot 101325)} ]
Вычислим:
[ V_2 ≈ \frac{(9.45 \cdot 10^4)}{(3.267 \cdot 10^5)} \approx 0.289 , м³. ]
Объем газа при нормальных условиях приблизительно 0.289 м³.
- Определите плотность кислорода при температуре 100 °C и давлении 2·10⁵ Па.
Используем уравнение состояния газа и формулу плотности:
Плотность (\rho) газа может быть определена как:
[ \rho = \frac{PM}{RT}, ]
где:
- (P = 2 \cdot 10^5, Pa),
- (M) — молярная масса кислорода (O2) примерно 32 г/моль = 0.032 кг/моль,
- (R) — универсальная газовая постоянная (8.31 J/(mol·K)),
- (T = 100 + 273 = 373, K).
Теперь подставим значения:
[ \rho = \frac{(2 \cdot 10^5) \cdot 0.032}{8.31 \cdot 373}. ]
Теперь считаем:
[ \rho = \frac{6400}{3104.83} \approx 2.06 , кг/м³. ]
Таким образом, плотность кислорода при указанной температуре и давлении составляет приблизительно 2.06 кг/м³.
- Какой объем займет воздух, если шар опустить в воду на глубину 10 м?
При погружении в воду происходит изменение давления, которое можно определить по формуле:
[ P = P_0 + \rho_{w} g h, ]
где:
- (P_0 = 10^5, Pa) — атмосферное давление,
- (\rho_{w} = 1000, kg/m^3) — плотность воды,
- (g \approx 9.81, m/s^2) — ускорение свободного падения,
- (h = 10, m) — глубина, на которую опускается шар.
Теперь считаем гидростатическое давление:
[ P = 10^5 + 1000 \cdot 9.81 \cdot 10. ]
[ P = 10^5 + 98100 = 197100, Pa. ]
Теперь используем закон Бойля — Мариотта: при постоянной температуре (P_1 V_1 = P_2 V_2):
Где:
- (P_1 = 10^5, Pa), (V_1 = 2, l = 0.002, m^3),
- (P_2 = 197100, Pa), (V_2) — искомый объем.
Подставляем в формулу:
[ 10^5 \cdot 0.002 = 197100 \cdot V_2. ]
Теперь решим для (V_2):
[ V_2 = \frac{10^5 \cdot 0.002}{197100} \approx \frac{200}{197.1} \approx 0.0114, m^3 = 11.4, l. ]
Таким образом, воздух в шаре займет объем приблизительно 11.4 литра при погружении на указанную глубину.
