\(\log _{0.5}\left(\frac{1}{x}\right)+4\log _{0.5}\left(\sqrt[3]{x}\right)=1\) озд реши
Давайте решим уравнение:
\[ \log_{0.5}\left(\frac{1}{x}\right) + 4\log_{0.5}\left(\sqrt[3]{x}\right) = 1. \]
Сначала применим свойства логарифмов.
- Мы знаем, что \(\log_b\left(\frac{1}{a}\right) = -\log_b(a)\). Это позволяет переписать первое слагаемое:
\[ \log_{0.5}\left(\frac{1}{x}\right) = -\log_{0.5}(x). \]
- Теперь преобразуем второе слагаемое. Мы также знаем, что \(\log_b(a^n) = n \cdot \log_b(a)\). Исходя из этого, можем переписать:
\[ \log_{0.5}\left(\sqrt[3]{x}\right) = \log_{0.5}(x^{1/3}) = \frac{1}{3} \log_{0.5}(x). \]
Таким образом, второе слагаемое будет:
\[ 4\log_{0.5}\left(\sqrt[3]{x}\right) = 4 \cdot \frac{1}{3} \log_{0.5}(x) = \frac{4}{3} \log_{0.5}(x). \]
Теперь подставим эти выражения в уравнение:
\[ -\log_{0.5}(x) + \frac{4}{3} \log_{0.5}(x) = 1. \]
Соберем все логарифмы в одну часть:
\[ \left(-1 + \frac{4}{3}\right) \log_{0.5}(x) = 1. \]
Чтобы объединить дроби, выразим -1 в виде дроби с общим знаменателем 3:
\[ -1 = -\frac{3}{3}. \]
Тогда:
\[ -\frac{3}{3} + \frac{4}{3} = \frac{1}{3}. \]
Теперь перепишем уравнение:
\[ \frac{1}{3} \log_{0.5}(x) = 1. \]
Умножим обе стороны на 3:
\[ \log_{0.5}(x) = 3. \]
Теперь перепишем это в экспоненциальной форме:
\[ x = 0.5^{-3}. \]
Выразим \(0.5\) в виде дроби:
\[ 0.5 = \frac{1}{2}, \quad \text{тогда } x = \left(\frac{1}{2}\right)^{-3} = 2^3 = 8. \]
Таким образом, значение \(x\) равно:
\[ \boxed{8}. \]
