Давайте решим уравнение:
[
\log_{0.5}\left(\frac{1}{x}\right) + 4\log_{0.5}\left(\sqrt[3]{x}\right) = 1.
]
Сначала применим свойства логарифмов.
- Мы знаем, что (\log_b\left(\frac{1}{a}\right) = -\log_b(a)). Это позволяет переписать первое слагаемое:
[
\log_{0.5}\left(\frac{1}{x}\right) = -\log_{0.5}(x).
]
- Теперь преобразуем второе слагаемое. Мы также знаем, что (\log_b(a^n) = n \cdot \log_b(a)). Исходя из этого, можем переписать:
[
\log_{0.5}\left(\sqrt[3]{x}\right) = \log_{0.5}(x^{1/3}) = \frac{1}{3} \log_{0.5}(x).
]
Таким образом, второе слагаемое будет:
[
4\log_{0.5}\left(\sqrt[3]{x}\right) = 4 \cdot \frac{1}{3} \log_{0.5}(x) = \frac{4}{3} \log_{0.5}(x).
]
Теперь подставим эти выражения в уравнение:
[
-\log_{0.5}(x) + \frac{4}{3} \log_{0.5}(x) = 1.
]
Соберем все логарифмы в одну часть:
[
\left(-1 + \frac{4}{3}\right) \log_{0.5}(x) = 1.
]
Чтобы объединить дроби, выразим -1 в виде дроби с общим знаменателем 3:
[
-1 = -\frac{3}{3}.
]
Тогда:
[
-\frac{3}{3} + \frac{4}{3} = \frac{1}{3}.
]
Теперь перепишем уравнение:
[
\frac{1}{3} \log_{0.5}(x) = 1.
]
Умножим обе стороны на 3:
[
\log_{0.5}(x) = 3.
]
Теперь перепишем это в экспоненциальной форме:
[
x = 0.5^{-3}.
]
Выразим (0.5) в виде дроби:
[
0.5 = \frac{1}{2}, \quad \text{тогда } x = \left(\frac{1}{2}\right)^{-3} = 2^3 = 8.
]
Таким образом, значение (x) равно:
[
\boxed{8}.
]
