Чтобы решить уравнение (\sin(5x) = \frac{\sqrt{3}}{2}), давайте сначала вспомним, когда синус принимает значение (\frac{\sqrt{3}}{2}).
Синус равен (\frac{\sqrt{3}}{2}) в следующих углах:
- (\frac{\pi}{3} + 2k\pi),
- (\frac{2\pi}{3} + 2k\pi),
где (k) — целое число.
Таким образом, у нас есть два уравнения для (\sin(5x)):
- (5x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi),
- (5x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi).
Теперь давайте решим каждое из них.
Первое уравнение:
[
5x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi
]
[
x = \frac{\pi}{15} + \frac{2k\pi}{5}
]
Второе уравнение:
[
5x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi
]
[
x = \frac{2\pi}{15} + \frac{2k\pi}{5}
]
Таким образом, обобщённое решение уравнения (\sin(5x) = \frac{\sqrt{3}}{2}) будет:
[
x = \frac{\pi}{15} + \frac{2k\pi}{5}, \quad k \in \mathbb{Z}
]
и
[
x = \frac{2\pi}{15} + \frac{2k\pi}{5}, \quad k \in \mathbb{Z}
]
Это ваши решения! Если у вас есть дополнительные вопросы, обязательно задавайте. Успехов в учёбе!
