Чтобы решить эту задачу, сначала найдем последовательности, где ( b_3 = 18 ) и ( b_5 = 2 ).
В геометрической прогрессии общий член можно выразить как:
[
b_n = b_1 \cdot r^{n-1}
]
где ( b_1 ) — первый член, а ( r ) — знаменатель прогрессии.
Исходя из этого, мы можем выразить ( b_3 ) и ( b_5 ):
[
b_3 = b_1 \cdot r^{3-1} = b_1 \cdot r^2 = 18
]
[
b_5 = b_1 \cdot r^{5-1} = b_1 \cdot r^4 = 2
]
Теперь у нас есть система уравнений:
- ( b_1 r^2 = 18 )
- ( b_1 r^4 = 2 )
Теперь разделим второе уравнение на первое:
[
\frac{b_1 r^4}{b_1 r^2} = \frac{2}{18}
]
Это упростится до:
[
r^2 = \frac{1}{9}
]
Отсюда ( r = \frac{1}{3} ) или ( r = -\frac{1}{3} ).
Теперь подставим значение ( r ) в одно из уравнений, например, в первое:
[
b_1 \left(\frac{1}{3}\right)^2 = 18
]
Это дает:
[
b_1 \cdot \frac{1}{9} = 18
]
Следовательно,
[
b_1 = 18 \cdot 9 = 162
]
Теперь мы получили первый член прогрессии ( b_1 = 162 ) и знаменатель ( r = \frac{1}{3} ).
Теперь найдем первые пять членов геометрической прогрессии:
- ( b_1 = 162 )
- ( b_2 = 162 \cdot \frac{1}{3} = 54 )
- ( b_3 = 162 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^2 = 18 ) (что мы и знали)
- ( b_4 = 162 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^3 = 6 )
- ( b_5 = 162 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^4 = 2 ) (что мы и знали)
Теперь найдем сумму первых пяти членов:
[
S_5 = b_1 + b_2 + b_3 + b_4 + b_5 = 162 + 54 + 18 + 6 + 2
]
Посчитаем:
[
S_5 = 162 + 54 = 216
]
[
S_5 = 216 + 18 = 234
]
[
S_5 = 234 + 6 = 240
]
[
S_5 = 240 + 2 = 242
]
Таким образом, сумма первых пяти членов геометрической прогрессии равна ( 242 ).
