4. Найдите сумму первых пяти членов геометрической прогрессии, если b * 3 = 18 b * 5 = 2

Чтобы решить эту задачу, сначала найдем последовательности, где \( b_3 = 18 \) и \( b_5 = 2 \).

В геометрической прогрессии общий член можно выразить как:

\[ b_n = b_1 \cdot r^{n-1} \]

где \( b_1 \) — первый член, а \( r \) — знаменатель прогрессии.

Исходя из этого, мы можем выразить \( b_3 \) и \( b_5 \):

\[ b_3 = b_1 \cdot r^{3-1} = b_1 \cdot r^2 = 18 \] \[ b_5 = b_1 \cdot r^{5-1} = b_1 \cdot r^4 = 2 \]

Теперь у нас есть система уравнений:

1. \( b_1 r^2 = 18 \)
2. \( b_1 r^4 = 2 \)

Теперь разделим второе уравнение на первое:

\[ \frac{b_1 r^4}{b_1 r^2} = \frac{2}{18} \]

Это упростится до:

\[ r^2 = \frac{1}{9} \]

Отсюда \( r = \frac{1}{3} \) или \( r = -\frac{1}{3} \).

Теперь подставим значение \( r \) в одно из уравнений, например, в первое:

\[ b_1 \left(\frac{1}{3}\right)^2 = 18 \]

Это дает:

\[ b_1 \cdot \frac{1}{9} = 18 \]

Следовательно,

\[ b_1 = 18 \cdot 9 = 162 \]

Теперь мы получили первый член прогрессии \( b_1 = 162 \) и знаменатель \( r = \frac{1}{3} \).

Теперь найдем первые пять членов геометрической прогрессии:

1. \( b_1 = 162 \)
2. \( b_2 = 162 \cdot \frac{1}{3} = 54 \)
3. \( b_3 = 162 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^2 = 18 \) (что мы и знали)
4. \( b_4 = 162 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^3 = 6 \)
5. \( b_5 = 162 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^4 = 2 \) (что мы и знали)

Теперь найдем сумму первых пяти членов:

\[ S_5 = b_1 + b_2 + b_3 + b_4 + b_5 = 162 + 54 + 18 + 6 + 2 \]

Посчитаем:

\[ S_5 = 162 + 54 = 216 \] \[ S_5 = 216 + 18 = 234 \] \[ S_5 = 234 + 6 = 240 \] \[ S_5 = 240 + 2 = 242 \]

Таким образом, сумма первых пяти членов геометрической прогрессии равна \( 242 \).