3x²-20x+33>0
Чтобы решить неравенство \(3x^2 - 20x + 33 > 0\), начнем с поиска корней соответствующего квадратного уравнения \(3x^2 - 20x + 33 = 0\).
Для этого будем использовать дискриминант \(D\), который считается по формуле:
\[ D = b^2 - 4ac \]
где \(a = 3\), \(b = -20\), \(c = 33\). Подставим значения:
\[ D = (-20)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 33 = 400 - 396 = 4 \]
Поскольку дискриминант больше нуля, уравнение имеет два различных корня, которые можно найти по формуле:
\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]
Подставляем значения:
\[ x_{1,2} = \frac{20 \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{20 \pm 2}{6} \]
Теперь найдем корни:
Первый корень: \[ x_1 = \frac{20 + 2}{6} = \frac{22}{6} = \frac{11}{3} \approx 3.67 \]
Второй корень: \[ x_2 = \frac{20 - 2}{6} = \frac{18}{6} = 3 \]
Итак, корни уравнения \(x_1 = \frac{11}{3} \approx 3.67\) и \(x_2 = 3\).
Теперь мы можем построить промежутки на числовой прямой, основываясь на этих корнях и проанализируем, где выражение \(3x^2 - 20x + 33\) положительно.
Промежутки:
- \( (-\infty, 3) \)
- \( (3, \frac{11}{3}) \)
- \( (\frac{11}{3}, +\infty) \)
Теперь проверим знак выражения в каждом промежутке.
Для \(x < 3\) (например, \(x = 0\)): \[ 3(0)^2 - 20(0) + 33 = 33 > 0 \] Знак положительный.
Для \(3 < x < \frac{11}{3}\) (например, \(x = 4\)): \[ 3(4)^2 - 20(4) + 33 = 48 - 80 + 33 = 1 > 0 \] Знак положительный.
Для \(x > \frac{11}{3}\) (например, \(x = 5\)): \[ 3(5)^2 - 20(5) + 33 = 75 - 100 + 33 = 8 > 0 \] Знак также положительный.
Таким образом, выражение (3x^2 - 20x + 33 > 0\ на всех промежутках, за исключением корней. Поэтому решение неравенства:
\[ x \in (-\infty, 3) \cup (3, \frac{11}{3}) \cup (\frac{11}{3}, +\infty) \]
или в упрощенном виде:
\[ x \in \mathbb{R} \text{ (для всех } x \neq 3 \text{ и } x \neq \frac{11}{3}). \]
Если возникли дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать!
