6 sin^2 x - 5 sin ( (3 π)/2 - x ) = 7
Для решения уравнения \( 6 \sin^2 x - 5 \sin\left(\frac{3\pi}{2} - x\right) = 7 \), начнем с упрощения выражения \(\sin\left(\frac{3\pi}{2} - x\right)\).
По свойству тригонометрических функций знаем, что: \[ \sin\left(\frac{3\pi}{2} - x\right) = -\cos x. \] Теперь подставим это в уравнение:
\[ 6 \sin^2 x - 5(-\cos x) = 7. \] Это упрощается до:
\[ 6 \sin^2 x + 5 \cos x = 7. \] Мы знаем, что \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\), следовательно, \(\sin^2 x = 1 - \cos^2 x\). Подставим это в уравнение:
\[ 6(1 - \cos^2 x) + 5 \cos x = 7. \] Раскроем скобки:
\[ 6 - 6 \cos^2 x + 5 \cos x = 7. \] Теперь перенесем 7 влево:
\[ -6 \cos^2 x + 5 \cos x + 6 - 7 = 0, \] или
\[ -6 \cos^2 x + 5 \cos x - 1 = 0. \]
Умножим все уравнение на -1 для упрощения:
\[ 6 \cos^2 x - 5 \cos x + 1 = 0. \]
Теперь это квадратное уравнение относительно \(\cos x\). Используем формулу корней квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\):
\[ \cos x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}. \]
В нашем случае \(a = 6\), \(b = -5\), \(c = 1\). Подставим значения:
\[ \cos x = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 1}}{2 \cdot 6} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{12} = \frac{5 \pm 1}{12}. \]
Это дает два возможных значения:
- \(\cos x = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}\),
- \(\cos x = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}\).
Теперь найдём \(x\):
Для \(\cos x = \frac{1}{2}\): \[ x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{или} \quad x = \frac{5\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}. \]
Для \(\cos x = \frac{1}{3}\): Найдём \(x\) с помощью арккосинуса: \[ x = \cos^{-1}\left(\frac{1}{3}\right) + 2k\pi \quad \text{или} \quad x = -\cos^{-1}\left(\frac{1}{3}\right) + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}. \]
Таким образом, мы нашли все возможные решения уравнения! Если у вас остались вопросы по этому процессу или другим темам, не стесняйтесь спрашивать.
