Для решения этой задачи мы можем использовать концепцию вероятности и формулу для вычисления вероятности успеха в сериях независимых испытаний. В данном случае стрелок стреляет до тех пор, пока не поразит мишень, и мы хотим узнать, сколько выстрелов ему нужно сделать, чтобы вероятность попадания (поразить мишень) была не менее 0,9.
- Обозначим ( n ) — количество выстрелов, которое делает стрелок.
- Вероятность попасть в мишень за один выстрел равна ( p = 0,4 ).
- Вероятность не попасть в мишень за один выстрел равна ( q = 1 - p = 0,6 ).
Стрелок попадет в мишень, если хотя бы в одном из выстрелов он попадет в цель. Следовательно, вероятность того, что он не попадет в мишень ни разу за ( n ) выстрелов, равна ( q^n = 0,6^n ).
Тогда вероятность того, что он хотя бы раз попадет в мишень, равна:
[
P(\text{попадание}) = 1 - P(\text{не попадание}) = 1 - q^n
]
Мы хотим, чтобы эта вероятность была не менее 0,9:
[
1 - 0,6^n \geq 0,9
]
Это неравенство можно переписать как:
[
0,6^n \leq 0,1
]
Теперь найдем минимальное значение ( n ), которое удовлетворяет этому неравенству. Для этого удобно взять логарифм от обеих сторон:
[
\log(0,6^n) \leq \log(0,1)
]
Согласно свойствам логарифмов, это равносильно:
[
n \cdot \log(0,6) \leq \log(0,1)
]
Теперь поделим обе стороны на ( \log(0,6) ). Поскольку ( \log(0,6) ) отрицательное число, неравенство изменит свой знак:
[
n \geq \frac{\log(0,1)}{\log(0,6)}
]
Вычисляя значения логарифмов, получаем:
[
\log(0,1) = -1 \quad \text{и} \quad \log(0,6) \approx -0,2218
]
Теперь подставим эти значения в неравенство:
[
n \geq \frac{-1}{-0,2218} \approx 4,51
]
Так как ( n ) должно быть целым числом, округляем вверх до ближайшего целого:
[
n \geq 5
]
Таким образом, стрелок должен иметь не менее 5 патронов, чтобы поразить мишень с вероятностью не менее 0,9.
