10 sin^2 z + 9 sin z - 7 = 0
Чтобы решить уравнение \(10 \sin^2 z + 9 \sin z - 7 = 0\), начнем с обозначения \(x = \sin z\). Это преобразует уравнение в квадратное:
\[10x^2 + 9x - 7 = 0.\]
Теперь мы можем использовать формулу для решения квадратных уравнений:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, \]
где \(a = 10\), \(b = 9\), \(c = -7\).
- Сначала находим дискриминант (\(D\)):
\[ D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4 \cdot 10 \cdot (-7) = 81 + 280 = 361. \]
- Теперь подставим значения в формулу:
\[ x = \frac{-9 \pm \sqrt{361}}{2 \cdot 10} = \frac{-9 \pm 19}{20}. \]
Теперь решим для двух случаев:
\(x_1 = \frac{-9 + 19}{20} = \frac{10}{20} = 0.5,\)
\(x_2 = \frac{-9 - 19}{20} = \frac{-28}{20} = -1.4.\)
Так как \(\sin z\) должен находиться в диапазоне от -1 до 1, учитываем только \(x_1 = 0.5\).
Теперь нам нужно найти \(z\):
\[ \sin z = 0.5. \]
Решения уравнения \(\sin z = 0.5\):
- \(z = \frac{\pi}{6} + 2k\pi\), где \(k \in \mathbb{Z}\)
- \(z = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi\), где \(k \in \mathbb{Z}\)
Таким образом, полное множество решений для \(z\) будет:
\[ z = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \text{ и } z = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi. \]
Это и есть решения данного уравнения. Если нужно что-то уточнить, не стесняйтесь спрашивать!
