Чтобы решить уравнение (10 \sin^2 z + 9 \sin z - 7 = 0), начнем с обозначения (x = \sin z). Это преобразует уравнение в квадратное:
[10x^2 + 9x - 7 = 0.]
Теперь мы можем использовать формулу для решения квадратных уравнений:
[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a},
]
где (a = 10), (b = 9), (c = -7).
- Сначала находим дискриминант ((D)):
[
D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4 \cdot 10 \cdot (-7) = 81 + 280 = 361.
]
- Теперь подставим значения в формулу:
[
x = \frac{-9 \pm \sqrt{361}}{2 \cdot 10} = \frac{-9 \pm 19}{20}.
]
Теперь решим для двух случаев:
(x_1 = \frac{-9 + 19}{20} = \frac{10}{20} = 0.5,)
(x_2 = \frac{-9 - 19}{20} = \frac{-28}{20} = -1.4.)
Так как (\sin z) должен находиться в диапазоне от -1 до 1, учитываем только (x_1 = 0.5).
Теперь нам нужно найти (z):
[
\sin z = 0.5.
]
Решения уравнения (\sin z = 0.5):
- (z = \frac{\pi}{6} + 2k\pi), где (k \in \mathbb{Z})
- (z = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi), где (k \in \mathbb{Z})
Таким образом, полное множество решений для (z) будет:
[
z = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \text{ и } z = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi.
]
Это и есть решения данного уравнения. Если нужно что-то уточнить, не стесняйтесь спрашивать!
