Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и, используя результаты исследования, построить график. Y=(2-x) / (x+1)
Для исследования функции \( y = \frac{2 - x}{x + 1} \) с помощью средств дифференциального исчисления, мы начнем с анализа её производной, а затем изучим поведение функции, включая её крайние точки и асимптоты.
- Нахождение производной.
Сначала найдем производную функции \( y \). Для этого воспользуемся правилом частного: \[ y' = \frac{(u'v - uv')}{v^2} \] где \( u = 2 - x \) и \( v = x + 1 \).
Вычислим производные \( u' \) и \( v' \):
- \( u' = -1 \)
- \( v' = 1 \)
Теперь подставим эти значения в формулу производной: \[ y' = \frac{((-1)(x + 1) - (2 - x)(1))}{(x + 1)^2} = \frac{- (x + 1) - (2 - x)}{(x + 1)^2} = \frac{-x - 1 - 2 + x}{(x + 1)^2} = \frac{-3}{(x + 1)^2} \]
- Анализ производной.
Производная \( y' = \frac{-3}{(x + 1)^2} \) всегда отрицательна, поскольку числитель отрицательный и знаменатель всегда положителен (при \( x \neq -1 \)). Это означает, что функция \( y \) является убывающей на интервале \( (-\infty, -1) \) и \( (-1, +\infty) \).
- Нахождение пределов и асимптот.
Вертикальная асимптота: Когда \( x \to -1 \), знаменатель стремится к нулю, следовательно, функция имеет вертикальную асимптоту: \[ x = -1. \]
Горизонтальная асимптота: Найдем поведение функции при \( x \to \infty \) и \( x \to -\infty \): \[ \lim_{x \to \infty} \frac{2 - x}{x + 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{-x(1 - \frac{2}{x})}{x(1 + \frac{1}{x})} = \lim_{x \to \infty} \frac{-1 + \frac{2}{x}}{1 + \frac{1}{x}} = -1. \] Аналогично при \( x \to -\infty \) мы получим аналогичный предел: \[ \lim_{x \to -\infty} y = -1. \] Таким образом, горизнтальная асимптота также равна \( y = -1 \).
- Нахождение точки пересечения с осью абсцисс и осью ординат.
Пересечение с осью \(y\) (когда \(x = 0\)): \[ y(0) = \frac{2 - 0}{0 + 1} = 2. \]
Пересечение с осью \(x\) (когда \(y = 0\)): \[ 0 = \frac{2 - x}{x + 1} \Rightarrow 2 - x = 0 \Rightarrow x = 2. \]
- Построение графика.
Теперь можно построить график функции \( y \):
- Вертикальная асимптота в \( x = -1 \)
- Горизонтальная асимптота в \( y = -1 \)
- Точка пересечения с осью \( y \) в \( (0, 2) \)
- Точка пересечения с осью \( x \) в \( (2, 0) \)
Рекомендуется использовать графическое программное обеспечение или координатную сетку для построения графика, учитывая вышеописанные характеристики функции.
Если есть дополнительные вопросы или требуется помощь, пожалуйста, дайте знать!
