Для нахождения вероятности выбросить 7 орлов при 12 бросках монетки можно воспользоваться биномиальным распределением.
Биномиальная вероятность вычисляется по формуле:
[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k} ]
где:
- ( n ) — общее количество испытаний (в данном случае 12 бросков);
- ( k ) — количество успешных исходов (в данном случае 7 орлов);
- ( p ) — вероятность успеха в одном испытании (для равной монеты ( p = 0.5 ));
- ( C(n, k) ) — биномиальный коэффициент, выражающий число способов выбрать ( k ) успешных исходов из ( n ), который вычисляется как:
[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n - k)!} ]
Теперь подставим наши значения:
- ( n = 12 )
- ( k = 7 )
- ( p = 0.5 )
Сначала найдем биномиальный коэффициент ( C(12, 7) ):
[ C(12, 7) = \frac{12!}{7! \cdot (12 - 7)!} = \frac{12!}{7! \cdot 5!} ]
Вычислим:
[ 12! = 479001600, \quad 7! = 5040, \quad 5! = 120 ]
Теперь найдём:
[ C(12, 7) = \frac{479001600}{5040 \cdot 120} = \frac{479001600}{604800} = 792 ]
Теперь подставим все значения в формулу для вероятности:
[ P(X = 7) = 792 \cdot (0.5)^7 \cdot (0.5)^{12 - 7} = 792 \cdot (0.5)^{12} = 792 \cdot \frac{1}{4096} ]
Осталось умножить:
[ P(X = 7) = \frac{792}{4096} \approx 0.1938 ]
Таким образом, вероятность выбросить 7 орлов при 12 бросках монеты составляет примерно 0.1938 или 19.38%.
