Найти площадь фигуры ограниченной прямой х =b b=4 f(x)=1-1/x
Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной прямой \( x = b \) (где \( b = 4 \)) и кривой \( f(x) = 1 - \frac{1}{x} \), нужно определить область интегрирования и рассмотреть графики функции и линии.
Обозначим границы интегрирования. Мы будем интегрировать функцию \( f(x) \) от некоторого значения \( a \) (где функция пересекает ось ординат) до \( b=4 \).
Найдем значение \( a \). Мы определим \( a \) как ту точку, в которой кривая \( f(x) \) пересекает ось \( x \): \[ f(x) = 0 \] \[ 1 - \frac{1}{x} = 0 \Rightarrow \frac{1}{x} = 1 \Rightarrow x = 1 \] Таким образом, \( a = 1 \).
Найдем площадь фигуры. Площадь под кривой от \( x = 1 \) до \( x = 4 \) будет вычисляться по формуле: \[ S = \int_{1}^{4} f(x) \, dx = \int_{1}^{4} \left( 1 - \frac{1}{x} \right) \, dx \]
Выполним интегрирование: \[ S = \int_{1}^{4} \left( 1 - \frac{1}{x} \right) \, dx = \int_{1}^{4} 1 \, dx - \int_{1}^{4} \frac{1}{x} \, dx \] \[ = \left[ x \right]_{1}^{4} - \left[ \ln |x| \right]_{1}^{4} \] \[ = \left( 4 - 1 \right) - \left( \ln 4 - \ln 1 \right) \] \[ = 3 - \ln 4 \]
Таким образом, площадь фигуры, ограниченной прямой \( x = 4 \) и кривой \( f(x) = 1 - \frac{1}{x} \), равна \( 3 - \ln 4 \).
