Чтобы определить первую космическую скорость для спутника, находящегося на небольшой высоте над поверхностью звезды, можно использовать формулу для расчета первой космической скорости:
[ v = \sqrt{\frac{GM}{R}} ]
где:
- ( v ) — первая космическая скорость,
- ( G ) — гравитационная постоянная (( G \approx 6,674 \times 10^{-11} , \text{м}^3,\text{кг}^{-1},\text{с}^{-2} )),
- ( M ) — масса звезды (в данном случае Антареса),
- ( R ) — радиус звезды (в данном случае Антареса).
Подставим данные из условия задачи:
- Масса ( M = 10^{32} , \text{кг} )
- Радиус ( R = 2,28 \times 10^{11} , \text{м} )
Теперь подставим значения в формулу:
[
v = \sqrt{\frac{(6,674 \times 10^{-11} , \text{м}^3,\text{кг}^{-1},\text{с}^{-2})(10^{32} , \text{кг})}{2,28 \times 10^{11} , \text{м}}}
]
Сначала вычислим числитель:
[
GM = (6,674 \times 10^{-11})(10^{32}) \approx 6,674 \times 10^{21} , \text{м}^3,\text{с}^{-2}
]
Теперь можно найти первую космическую скорость, подставив числитель в формулу для скорости:
[
v = \sqrt{\frac{6,674 \times 10^{21}}{2,28 \times 10^{11}}}
]
Теперь вычислим деление:
[
\frac{6,674 \times 10^{21}}{2,28 \times 10^{11}} \approx 2,93 \times 10^{10} , \text{м}^2/\text{с}^2
]
Теперь найдем корень квадратный:
[
v \approx \sqrt{2,93 \times 10^{10}} \approx 5,41 \times 10^{5} , \text{м/с}
]
Таким образом, первая космическая скорость для спутника Антареса, летающего на небольшой высоте, составляет примерно ( 5,41 \times 10^{5} , \text{м/с} ).
