Докажите что значение выражения (а-2b)(a+2b) +4b(a+2b) при любых а и b является неотрицательным числом

Для доказательства того, что значение выражения \( (a - 2b)(a + 2b) + 4b(a + 2b) \) при любых \( a \) и \( b \) является неотрицательным числом, начнем с преобразования этого выражения. Первым делом можем воспользоваться формулой разности квадратов, чтобы упростить первое слагаемое: \[ (a - 2b)(a + 2b) = a^2 - (2b)^2 = a^2 - 4b^2. \] Теперь подставим это обратно в выражение: \[ a^2 - 4b^2 + 4b(a + 2b). \] Раскроем второе слагаемое: \[ 4b(a + 2b) = 4ab + 8b^2. \] Теперь объединим все слагаемые: \[ a^2 - 4b^2 + 4ab + 8b^2 = a^2 + 4ab + 4b^2. \] Наблюдаем, что это выражение можно представить в виде полного квадрата: \[ a^2 + 4ab + 4b^2 = (a + 2b)^2. \] Полный квадрат, как известно, всегда неотрицателен для всех действительных \( a \) и \( b \). Это значит, что \( (a + 2b)^2 \geq 0 \) при любых значениях \( a \) и \( b \). Таким образом, мы доказали, что значение исходного выражения является неотрицательным числом для любых \( a \) и \( b \): \[ (a - 2b)(a + 2b) + 4b(a + 2b) \geq 0. \]