3х-у=-1 х^2-2ху+у^2=9 решить систему уравнения методом подстановки
Чтобы решить систему уравнений методом подстановки, начнем с приведения первого уравнения к удобному виду для подстановки. У нас есть следующие уравнения:
- \( 3x - y = -1 \)
- \( x^2 - 2xy + y^2 = 9 \)
Сначала выразим \( y \) через \( x \) из первого уравнения:
\[ y = 3x + 1 \]
Теперь подставим это выражение для \( y \) во второе уравнение:
\[ x^2 - 2x(3x + 1) + (3x + 1)^2 = 9 \]
Раскроем скобки во втором уравнении:
- \( -2x(3x + 1) = -6x^2 - 2x \)
- \( (3x + 1)^2 = 9x^2 + 6x + 1 \)
Теперь подставим эти результаты:
\[ x^2 - 6x^2 - 2x + 9x^2 + 6x + 1 = 9 \]
Соберем подобные члены:
\[ (1 - 6 + 9)x^2 + (-2 + 6)x + 1 - 9 = 0 \]
Это упрощается до:
\[ 4x^2 + 4x - 8 = 0 \]
Теперь упростим равнение, поделив всё на 4:
\[ x^2 + x - 2 = 0 \]
Это квадратное уравнение можно решить по формуле:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
Где \( a = 1 \), \( b = 1 \), и \( c = -2 \).
Подставляем значения:
\[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1} \]
\[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} \]
\[ x = \frac{-1 \pm 3}{2} \]
Теперь находим два возможных значения для \( x \):
- \( x_1 = \frac{2}{2} = 1 \)
- \( x_2 = \frac{-4}{2} = -2 \)
Теперь подставим найденные значения \( x \) обратно в выражение для \( y \):
- Для \( x_1 = 1 \):
\[ y = 3(1) + 1 = 4 \]
- Для \( x_2 = -2 \):
\[ y = 3(-2) + 1 = -5 \]
Таким образом, мы имеем два решения системы уравнений:
- \( (x, y) = (1, 4) \)
- \( (x, y) = (-2, -5) \)
Пожалуйста, дайте знать, если потребуется дополнительная помощь или объяснения!
