Чтобы решить систему уравнений методом подстановки, начнем с приведения первого уравнения к удобному виду для подстановки. У нас есть следующие уравнения:
- ( 3x - y = -1 )
- ( x^2 - 2xy + y^2 = 9 )
Сначала выразим ( y ) через ( x ) из первого уравнения:
[
y = 3x + 1
]
Теперь подставим это выражение для ( y ) во второе уравнение:
[
x^2 - 2x(3x + 1) + (3x + 1)^2 = 9
]
Раскроем скобки во втором уравнении:
- ( -2x(3x + 1) = -6x^2 - 2x )
- ( (3x + 1)^2 = 9x^2 + 6x + 1 )
Теперь подставим эти результаты:
[
x^2 - 6x^2 - 2x + 9x^2 + 6x + 1 = 9
]
Соберем подобные члены:
[
(1 - 6 + 9)x^2 + (-2 + 6)x + 1 - 9 = 0
]
Это упрощается до:
[
4x^2 + 4x - 8 = 0
]
Теперь упростим равнение, поделив всё на 4:
[
x^2 + x - 2 = 0
]
Это квадратное уравнение можно решить по формуле:
[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
]
Где ( a = 1 ), ( b = 1 ), и ( c = -2 ).
Подставляем значения:
[
x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1}
]
[
x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}
]
[
x = \frac{-1 \pm 3}{2}
]
Теперь находим два возможных значения для ( x ):
- ( x_1 = \frac{2}{2} = 1 )
- ( x_2 = \frac{-4}{2} = -2 )
Теперь подставим найденные значения ( x ) обратно в выражение для ( y ):
- Для ( x_1 = 1 ):
[
y = 3(1) + 1 = 4
]
- Для ( x_2 = -2 ):
[
y = 3(-2) + 1 = -5
]
Таким образом, мы имеем два решения системы уравнений:
- ( (x, y) = (1, 4) )
- ( (x, y) = (-2, -5) )
Пожалуйста, дайте знать, если потребуется дополнительная помощь или объяснения!
