Решите неравенство методом интервалов: (6x' -2x2) (1-6x + 9x2) 2ー7 > 0.
Для решения неравенства \((6x - 2x^2)(1 - 6x + 9x^2) > 0\) методом интервалов, прежде всего найдем нули каждого множителя.
Найдем корни первого множителя: \[ 6x - 2x^2 = 0 \] Выносим общий множитель: \[ 2x(3 - x) = 0 \] Таким образом, \(x = 0\) и \(x = 3\).
Найдем корни второго множителя: \[ 1 - 6x + 9x^2 = 0 \] Это квадратное уравнение мы можем решить по формуле: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 1}}{2 \cdot 9} \] Подставляем значения: \[ x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 36}}{18} = \frac{6 \pm 0}{18} = \frac{1}{3} \] Таким образом, двойной корень \(x = \frac{1}{3}\).
Теперь у нас есть нули: \(x = 0\), \(x = \frac{1}{3}\) и \(x = 3\). Эти значения делят числовую ось на интервалы:
- \((-\infty, 0)\)
- \((0, \frac{1}{3})\)
- \((\frac{1}{3}, 3)\)
- \((3, +\infty)\)
Теперь проверим знак произведения на каждом из этих интервалов.
На интервале \((-\infty, 0)\): Например, \(x = -1\). \((6(-1) - 2(-1)^2)(1 - 6(-1) + 9(-1)^2) = (-6 - 2)(1 + 6 + 9) = (-8)(16) < 0\).
На интервале \((0, \frac{1}{3})\): Например, \(x = \frac{1}{6}\). \((6\cdot\frac{1}{6} - 2(\frac{1}{6})^2)(1 - 6\cdot\frac{1}{6} + 9(\frac{1}{6})^2) = (1 - \frac{2}{36})(1 - 1 + \frac{9}{36}) = (1 - \frac{1}{18})(\frac{1}{4}) > 0\).
На интервале \((\frac{1}{3}, 3)\): Например, \(x = 1\). \((6(1) - 2(1)^2)(1 - 6(1) + 9(1)^2) = (6 - 2)(1 - 6 + 9) = (4)(4) > 0\).
На интервале \((3, +\infty)\): Например, \(x = 4\). \((6(4) - 2(4)^2)(1 - 6(4) + 9(4)^2) = (24 - 32)(1 - 24 + 144) = (-8)(121) < 0\).
Теперь мы можем собрать результаты:
- Интервал \((-\infty, 0)\): знак отрицательный.
- Интервал \((0, \frac{1}{3})\): знак положительный.
- Интервал \((\frac{1}{3}, 3)\): знак положительный.
- Интервал \((3, +\infty)\): знак отрицательный.
Итак, решение неравенства \( (6x - 2x^2)(1 - 6x + 9x^2) > 0 \) — это объединение интервалов:
\[ (0, \frac{1}{3}) \cup (\frac{1}{3}, 3) \]
Так как в точках \(x = 0\), \(x = \frac{1}{3}\) и \(x = 3\) выражение ноль, они не включаются в решение.
