метод интервала

Привет! Давай решим это неравенство методом интервалов. У нас есть:

(𝑥 - 5) / (𝑥 + 1) * (𝑥² + 4𝑥 + 3) ≥ 0.

Шаг 1: Найдем нули числителя и знаменателя.

1. \(x - 5 = 0 \Rightarrow x = 5\).
2. \(x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1\).
3. Решим квадратное уравнение \(x² + 4x + 3 = 0\):
   • По теореме Виета, корни: \(x = -3\) и \(x = -1\).

Шаг 2: Определим интервалы на числовой прямой.

Корни разбивают прямую на интервалы:

• \((-∞, -3)\)
• \((-3, -1)\)
• \((-1, 5)\)
• \((5, +∞)\)

Шаг 3: Проанализируем знаки на интервалах.

Возьмем тестовые точки из каждого интервала и подставим в выражение:

1. \(x = -4\) для интервала \((-∞, -3)\);
2. \(x = -2\) для интервала \((-3, -1)\);
3. \(x = 0\) для интервала \((-1, 5)\);
4. \(x = 6\) для интервала \((5, +∞)\).

Проанализируем:

• \((-∞, -3)\): знак будет \((+)\)
• \((-3, -1)\): знак будет \((-)\)
• \((-1, 5)\): знак будет \((+)\)
• \((5, +∞)\): знак будет \((+)\)

Шаг 4: Найдем решение, учитывая знак неравенства.

Поскольку у нас неравенство \(\geq 0\), оно выполняется на интервалах, где выражение неотрицательно, и точках, где выражение равно нулю, кроме точек, где знаменатель равен нулю:

• Решение: \((-∞, -3] \cup (-1, 5]\).

Так, всё готово! Если есть вопросы, дай знать.