решите д квадратное уравнение x в четвертой -4 x квадрат - 45 =0
Чтобы решить квадратное уравнение, преобразуем его в стандартный вид. Данное уравнение:
\[ x^4 - 4x^2 - 45 = 0 \]
Мы можем сделать замену переменной, чтобы упростить уравнение. Обозначим \( y = x^2 \). Таким образом, уравнение можно переписать как:
\[ y^2 - 4y - 45 = 0 \]
Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно \( y \). Мы можем использовать формулу корней квадратного уравнения:
\[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
где \( a = 1 \), \( b = -4 \), и \( c = -45 \).
Подставим значения в формулу:
- Вычислим дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-45) = 16 + 180 = 196 \]
- Теперь найдем корни:
\[ y = \frac{4 \pm \sqrt{196}}{2 \cdot 1} \]
\[ y = \frac{4 \pm 14}{2} \]
Таким образом, получаем:
\[ y_1 = \frac{18}{2} = 9 \]
\[ y_2 = \frac{-10}{2} = -5 \]
Теперь вернемся к переменной \( x \):
- Для \( y_1 = 9 \):
\[ x^2 = 9 \]
Следовательно,
\[ x = 3 \quad \text{или} \quad x = -3 \]
- Для \( y_2 = -5 \):
Так как \( x^2 = -5 \) не имеет действительных корней, в этом случае мы получим комплексные решения:
\[ x = \sqrt{-5} = i\sqrt{5} \quad \text{и} \quad x = -i\sqrt{5} \]
Таким образом, окончательные решения уравнения:
Действительные корни: \( x = 3 \) и \( x = -3 \)
Комплексные корни: \( x = i\sqrt{5} \) и \( x = -i\sqrt{5} \)
Если потребуется более подробное объяснение по данным шагам или другим вопросам, пожалуйста, дайте знать!
