Корень в пятой степени из х-2 + 2корень в 10 степени х-2=3

Давайте решим уравнение: \(\sqrt[5]{x - 2} + 2\sqrt[10]{x - 2} = 3\).

1. Для удобства введем обозначение: пусть \(y = \sqrt[5]{x - 2}\). Тогда \(\sqrt[10]{x - 2} = \sqrt[10]{(y^5)} = \sqrt{y} = y^{1/2}\).

2. Подставим это в уравнение:
   \(y + 2\sqrt{y} = 3\).

3. Переносим все в одну сторону:
   \(y + 2\sqrt{y} - 3 = 0\).

4. Теперь, давайте сделаем замену: \(z = \sqrt{y}\). Таким образом, \(y = z^2\), и уравнение становится:
   \(z^2 + 2z - 3 = 0\).

5. Это квадратное уравнение, которое можно решить по формуле \(z = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\), где \(a = 1\), \(b = 2\), \(c = -3\):
   \(z = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 \pm 4}{2}\).

6. Теперь найдем корни:
   \(z_1 = \frac{2}{2} = 1\) и \(z_2 = \frac{-6}{2} = -3\). Поскольку \(z = \sqrt{y}\) не может быть отрицательным, мы берем только \(z = 1\).

7. Теперь возвращаемся к \(y\):
   \(\sqrt{y} = 1 \Rightarrow y = 1\).

8. Вспоминаем, что \(y = \sqrt[5]{x - 2}\), тогда \(1 = \sqrt[5]{x - 2}\). Возводим в пятую степень:
   \(x - 2 = 1 \Rightarrow x = 3\).

Таким образом, решением уравнения является \(x = 3\). Если есть дополнительные вопросы, буду рад помочь!