Чтобы найти длины сторон прямоугольного земельного участка, нам известно, что его периметр (длина забора) составляет 40 метров, а площадь участка равна 96 квадратных метров.
Обозначим длины сторон прямоугольника как (a) и (b). Тогда у нас есть две уравнения:
- Периметр: (2a + 2b = 40)
- Площадь: (a \times b = 96)
Сначала упростим первое уравнение:
[
a + b = 20
]
Теперь выразим одну сторону через другую. Пусть (b = 20 - a). Подставим это значение во второе уравнение:
[
a \times (20 - a) = 96
]
Раскроем скобки:
[
20a - a^2 = 96
]
Перепишем уравнение в стандартной форме:
[
a^2 - 20a + 96 = 0
]
Теперь можем использовать формулу дискримината для решения квадратного уравнения. Дискриминант (D) равен:
[
D = b^2 - 4ac = (-20)^2 - 4 \times 1 \times 96
]
[
D = 400 - 384 = 16
]
Дискриминант положительный, значит, у уравнения два различных корня. Теперь найдем корни:
[
a = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{20 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{20 \pm 4}{2}
]
Это даёт два возможных значения для (a):
- (a_1 = \frac{24}{2} = 12)
- (a_2 = \frac{16}{2} = 8)
Теперь найдем соответствующие значения для (b):
- Если (a = 12), тогда (b = 20 - 12 = 8).
- Если (a = 8), тогда (b = 20 - 8 = 12).
Таким образом, длины сторон земельного участка составляют 12 метров и 8 метров.
