Для решения задачи нам нужно использовать формулы для площади и периметра прямоугольника.
Площадь ( S ) прямоугольника вычисляется по формуле:
[
S = a \cdot b
]
где ( a ) и ( b ) — стороны прямоугольника.
Периметр ( P ) прямоугольника вычисляется по формуле:
[
P = 2(a + b)
]
В нашем случае:
- Площадь ( S = 56 , \text{м}^2 )
- Периметр ( P = 30 , \text{м} )
Сначала выразим одну сторону через другую из уравнения площади:
[
b = \frac{S}{a} = \frac{56}{a}
]
Теперь подставим это значение в уравнение периметра:
[
P = 2\left(a + b\right) = 2\left(a + \frac{56}{a}\right) = 30
]
Упростим это уравнение:
[
a + \frac{56}{a} = 15
]
Умножим обе стороны на ( a ) (при условии, что ( a \neq 0 )):
[
a^2 + 56 = 15a
]
Перепишем уравнение в стандартной форме:
[
a^2 - 15a + 56 = 0
]
Теперь можно решить это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
[
D = b^2 - 4ac = (-15)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 56 = 225 - 224 = 1
]
Так как дискриминант больше нуля, у уравнения два различных корня. Находим корни:
[
a_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{15 \pm 1}{2}
]
Таким образом,
[
a_1 = \frac{16}{2} = 8, \quad a_2 = \frac{14}{2} = 7
]
Теперь подставляем найденные значения в формулу для нахождения ( b ):
Если ( a = 8 ):
[
b = \frac{56}{8} = 7
]
Если ( a = 7 ):
[
b = \frac{56}{7} = 8
]
Таким образом, стороны прямоугольника ( AB ) и ( CD ) равны ( 8 , \text{м} ) и стороны ( BC ) и ( AD ) равны ( 7 , \text{м} ).
Итак, стороны прямоугольника ( ABCD ): ( 8 , \text{м} ) и ( 7 , \text{м} ).
