Корень в пятой степени из х-2 + 2корень в 10 степени х-2=3 реши через замену

Чтобы решить уравнение \(\sqrt[5]{x-2} + 2\sqrt[10]{x-2} = 3\) через замену, давайте введем замену для упрощения:

1. Обозначим \(y = \sqrt[10]{x-2}\). Это значит, что \(\sqrt[5]{x-2} = y^2\), так как \(\sqrt[5]{x-2} = (x-2)^{1/5} = (y^{10})^{1/5} = y^{2}\).

2. Подставим замену в уравнение: \[ y^2 + 2y = 3. \]

3. Приведем уравнение к стандартному виду: \[ y^2 + 2y - 3 = 0. \]

4. Теперь решим квадратное уравнение. Для этого можно использовать формулу дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16. \]

5. Найдем корни уравнения с помощью формулы: \[ y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm 4}{2}. \]

   Таким образом, получаем два корня: \[ y_1 = \frac{2}{2} = 1, \] \[ y_2 = \frac{-6}{2} = -3. \] Поскольку \(y = \sqrt[10]{x-2}\), то \(y\) должно быть неотрицательным. Таким образом, мы отвергаем \(y_2 = -3\).

6. У нас остается \(y_1 = 1\). Подставим значение \(y\) обратно, чтобы найти \(x\): \[ \sqrt[10]{x-2} = 1. \]

7. Теперь возведем обе стороны в степень 10: \[ x - 2 = 1^{10} = 1. \]

8. Решим уравнение: \[ x = 1 + 2 = 3. \]

Таким образом, решение уравнения \(\sqrt[5]{x-2} + 2\sqrt[10]{x-2} = 3\) — это \(x = 3\).