∫_0^2 (6x³- x + 3) dx

Чтобы вычислить определенный интеграл \(\int_0^2 (6x^3 - x + 3) \, dx\), давайте начнем с нахождения неопределенного интеграла функции под знаком интеграла.

1. Найдем неопределенный интеграл:

\[ \int (6x^3 - x + 3) \, dx = \int 6x^3 \, dx - \int x \, dx + \int 3 \, dx \]

• Для \(6x^3\): \[ \int 6x^3 \, dx = \frac{6}{4}x^4 = \frac{3}{2}x^4 \]
• Для \(-x\): \[ \int -x \, dx = -\frac{1}{2}x^2 \]
• Для \(3\): \[ \int 3 \, dx = 3x \]

Теперь соединим все части:

\[ \int (6x^3 - x + 3) \, dx = \frac{3}{2}x^4 - \frac{1}{2}x^2 + 3x + C \]

2. Теперь подставим пределы интегрирования (от 0 до 2):

\[ \int_0^2 (6x^3 - x + 3) \, dx = \left[ \frac{3}{2}x^4 - \frac{1}{2}x^2 + 3x \right]_0^2 \]

3. Подставим верхний предел \(x=2\):

\[ = \frac{3}{2}(2)^4 - \frac{1}{2}(2)^2 + 3(2) \]

Посчитаем каждую часть:

\[ = \frac{3}{2} \cdot 16 - \frac{1}{2} \cdot 4 + 6 \] \[ = 24 - 2 + 6 \] \[ = 28 \]

4. Теперь подставим нижний предел \(x=0\):

\[ = \frac{3}{2}(0)^4 - \frac{1}{2}(0)^2 + 3(0) = 0 \]

5. Теперь вычтем значение нижнего предела из верхнего:

\[ \int_0^2 (6x^3 - x + 3) \, dx = 28 - 0 = 28 \]

Таким образом, значение определенного интеграла равно 28.