Чтобы вычислить определенный интеграл (\int_0^2 (6x^3 - x + 3) , dx), давайте начнем с нахождения неопределенного интеграла функции под знаком интеграла.
- Найдем неопределенный интеграл:
[
\int (6x^3 - x + 3) , dx = \int 6x^3 , dx - \int x , dx + \int 3 , dx
]
- Для (6x^3):
[
\int 6x^3 , dx = \frac{6}{4}x^4 = \frac{3}{2}x^4
]
- Для (-x):
[
\int -x , dx = -\frac{1}{2}x^2
]
- Для (3):
[
\int 3 , dx = 3x
]
Теперь соединим все части:
[
\int (6x^3 - x + 3) , dx = \frac{3}{2}x^4 - \frac{1}{2}x^2 + 3x + C
]
- Теперь подставим пределы интегрирования (от 0 до 2):
[
\int_0^2 (6x^3 - x + 3) , dx = \left[ \frac{3}{2}x^4 - \frac{1}{2}x^2 + 3x \right]_0^2
]
- Подставим верхний предел (x=2):
[
= \frac{3}{2}(2)^4 - \frac{1}{2}(2)^2 + 3(2)
]
Посчитаем каждую часть:
[
= \frac{3}{2} \cdot 16 - \frac{1}{2} \cdot 4 + 6
]
[
= 24 - 2 + 6
]
[
= 28
]
- Теперь подставим нижний предел (x=0):
[
= \frac{3}{2}(0)^4 - \frac{1}{2}(0)^2 + 3(0) = 0
]
- Теперь вычтем значение нижнего предела из верхнего:
[
\int_0^2 (6x^3 - x + 3) , dx = 28 - 0 = 28
]
Таким образом, значение определенного интеграла равно 28.
