решите квадратичные неравенства а)х²-2х-8<0 б)2х²-5х+3≥0 в)х²-1<0

Конечно! Давайте разберем каждое квадратичное неравенство по отдельности.

а) \(x^2 - 2x - 8 < 0\)

1. Найдём корни уравнения \(x^2 - 2x - 8 = 0\) с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36 \]

2. Найдём корни: \[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + 6}{2} = 4 \] \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - 6}{2} = -2 \]

3. Теперь мы имеем корни \(x_1 = 4\) и \(x_2 = -2\).

4. Построим числовую прямую и исследуем знаки:

   • Для \(x < -2\): например, подставим \(x = -3\) → \((-3)^2 - 2(-3) - 8 = 9 + 6 - 8 = 7\) (положительно).
   • Для \(-2 < x < 4\): например, подставим \(x = 0\) → \(0^2 - 2(0) - 8 = -8\) (отрицательно).
   • Для \(x > 4\): например, подставим \(x = 5\) → \(5^2 - 2(5) - 8 = 25 - 10 - 8 = 7\) (положительно).

5. Итог: неравенство \(x^2 - 2x - 8 < 0\) выполняется в интервале \((-2, 4)\).

б) \(2x^2 - 5x + 3 \geq 0\)

1. Находим корни уравнения \(2x^2 - 5x + 3 = 0\) с помощью дискриминанта: \[ D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 - 24 = 1 \]

2. Находим корни: \[ x_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{D}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 1}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} \] \[ x_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{D}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 1}{4} = \frac{4}{4} = 1 \]

3. Корни: \(x_1 = \frac{3}{2}\) и \(x_2 = 1\).

4. Исследуем знаки:

   • Для \(x < 1\): например, \(x = 0\) → \(2(0)^2 - 5(0) + 3 = 3\) (положительно).
   • Для \(1 < x < \frac{3}{2}\): например, \(x = 1.2\) → \(2(1.2)^2 - 5(1.2) + 3 = 2.88 - 6 + 3 = -0.12\) (отрицательно).
   • Для \(x > \frac{3}{2}\): например, \(x = 2\) → \(2(2)^2 - 5(2) + 3 = 8 - 10 + 3 = 1\) (положительно).

5. Итог: неравенство \(2x^2 - 5x + 3 \geq 0\) выполняется на интервалах \((-\infty, 1]\) и \(\left[\frac{3}{2}, +\infty\right)\).

в) \(x^2 - 1 < 0\)

1. Находим корни уравнения \(x^2 - 1 = 0\): \[ x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) = 0 \Rightarrow x_1 = 1, x_2 = -1 \]

2. Исследуем знаки:

   • Для \(x < -1\): например, \(x = -2\) → \((-2)^2 - 1 = 4 - 1 = 3\) (положительно).
   • Для \(-1 < x < 1\): например, \(x = 0\) → \(0^2 - 1 = -1\) (отрицательно).
   • Для \(x > 1\): например, \(x = 2\) → \(2^2 - 1 = 3\) (положительно).

3. Итог: неравенство \(x^2 - 1 < 0\) выполняется в интервале \((-1, 1)\).

Если у вас есть дополнительные вопросы или нужны пояснения, не стесняйтесь спрашивать!