Вариант 29 В треугольнике ABC угол С равен 90°, AC = 6, tgA=√ 91/3. найдите AB.

Для решения задачи, у нас есть прямоугольный треугольник ABC, где угол C равен 90°. Дано:

• AC = 6 (катет)
• tg(A) = √(91/3)

Сначала выразим сторону AB, которую мы обозначим как c (гипотенуза), используя теоремы о тангенсе. По определению тангенса угла A:

\[ \tg(A) = \frac{BC}{AC} \]

где BC — второй катет. Подставим известное значение AC:

\[ \tg(A) = \frac{BC}{6} \]

Зная, что tg(A) = √(91/3), мы можем записать:

\[ \sqrt{\frac{91}{3}} = \frac{BC}{6} \]

Умножим обе стороны на 6:

\[ BC = 6 \cdot \sqrt{\frac{91}{3}} = 6\sqrt{91}/\sqrt{3} = 2\sqrt{273} \]

Теперь у нас есть длины обоих катетов:

• AC = 6
• BC = 2√273

Для нахождения гипотенузы AB используем теорему Пифагора:

\[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \]

Подставим известные значения:

\[ AB^2 = 6^2 + (2\sqrt{273})^2 \]

Вычислим:

\[ AB^2 = 36 + 4 \cdot 273 = 36 + 1092 = 1128 \]

Теперь найдём AB:

\[ AB = \sqrt{1128} \]

Сделаем упрощение:

\[ AB = \sqrt{4 \cdot 282} = 2\sqrt{282} \]

Итак, длина гипотенузы AB равна \(2\sqrt{282}\).