Вариант 29 В треугольнике ABC угол С равен 90°, AC = 6, tgA=√ 91/3. найдите AB.

Для решения задачи, у нас есть прямоугольный треугольник ABC, где угол C равен 90°. Дано: - AC = 6 (катет) - tg(A) = √(91/3) Сначала выразим сторону AB, которую мы обозначим как c (гипотенуза), используя теоремы о тангенсе. По определению тангенса угла A: \[ \tg(A) = \frac{BC}{AC} \] где BC — второй катет. Подставим известное значение AC: \[ \tg(A) = \frac{BC}{6} \] Зная, что tg(A) = √(91/3), мы можем записать: \[ \sqrt{\frac{91}{3}} = \frac{BC}{6} \] Умножим обе стороны на 6: \[ BC = 6 \cdot \sqrt{\frac{91}{3}} = 6\sqrt{91}/\sqrt{3} = 2\sqrt{273} \] Теперь у нас есть длины обоих катетов: - AC = 6 - BC = 2√273 Для нахождения гипотенузы AB используем теорему Пифагора: \[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \] Подставим известные значения: \[ AB^2 = 6^2 + (2\sqrt{273})^2 \] Вычислим: \[ AB^2 = 36 + 4 \cdot 273 = 36 + 1092 = 1128 \] Теперь найдём AB: \[ AB = \sqrt{1128} \] Сделаем упрощение: \[ AB = \sqrt{4 \cdot 282} = 2\sqrt{282} \] Итак, длина гипотенузы AB равна \(2\sqrt{282}\).