Чтобы вычислить объем конуса, нам нужно использовать формулу:
[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h ]
где ( V ) — объем конуса, ( r ) — радиус основания, а ( h ) — высота конуса.
- Находим радиус основания. Если диаметр основания равен 6, то радиус будет равен:
[ r = \frac{d}{2} = \frac{6}{2} = 3 ]
- Находим высоту конуса. У нас есть угол при вершине (осевое сечение) — 60°. Мы можем использовать тригонометрию для нахождения высоты. В нашем случае угол 60° будет находиться между высотой и радиусом основания в прямоугольном треугольнике.
Используем тангенс угла для нахождения высоты:
[
\tan\left(\frac{60º}{2}\right) = \frac{r}{h} = \frac{3}{h}
]
Так как (\frac{60º}{2} = 30º), то:
[
\tan(30º) = \frac{1}{\sqrt{3}} \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{3}{h} \implies h = 3\sqrt{3}
]
- Теперь можем подставить значения в формулу для объема:
[
V = \frac{1}{3} \pi (3)^2 (3\sqrt{3})
]
Вычислим:
[
V = \frac{1}{3} \pi \cdot 9 \cdot 3\sqrt{3} = \frac{27\sqrt{3}\pi}{3} = 9\sqrt{3}\pi
]
Таким образом, объем конуса равен ( 9\sqrt{3}\pi ).
