Дан некоторый числовой набор. Известно, что сумма отклонений от среднего всех чисел, кроме последнего, равна -18. Найдите отклонение последнего числа.
Чтобы решить задачу, давайте разберем информацию, которую мы имеем.
- У нас есть числовой набор, и мы обозначим его элементы как \(x_1, x_2, ..., x_n\), где \(x_n\) — последнее число.
- Сумма отклонений от среднего всех чисел, кроме последнего, равна -18.
Отклонение числа \(x_i\) от среднего арифметического \(\bar{x}\) выражается формулой: \[ d_i = x_i - \bar{x} \] где \(\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + ... + x_{n-1}}{n-1}\) — это среднее всех чисел, кроме последнего.
Сумма отклонений всех чисел (кроме последнего) равна: \[ d_1 + d_2 + ... + d_{n-1} = (x_1 - \bar{x}) + (x_2 - \bar{x}) + ... + (x_{n-1} - \bar{x}) = -18. \]
Теперь упрощаем это выражение, поняв, что сумма отклонений равна \(0\) (поскольку отклонения от среднего арифметического всегда в сумме дают ноль): \[ (n-1)\bar{x} - \sum_{i=1}^{n-1} x_i = 0, \] откуда следует, что: \[ \sum_{i=1}^{n-1} x_i = (n-1) \bar{x}. \]
Теперь, чтобы найти отклонение последнего числа \(x_n\), мы исходим из того, что общее отклонение всех \(n\) чисел от их среднего также будет равно нулю. Обозначив среднее всех чисел как \(\bar{x'} = \frac{x_1 + x_2 + ... + x_n}{n}\), получаем: \[ d_n = x_n - \bar{x'}, \] где: \[ \bar{x'} = \frac{(n-1)\bar{x} + x_n}{n}. \]
Критическим моментом является то, что сумма всех отклонений должна равняться: \[ S = -18 + d_n = 0. \] Таким образом, мы можем сказать, что: \[ d_n = 18. \]
Итак, отклонение последнего числа \(x_n\) равно \(18\).
