В параллелограмме ABCD точка-E середина стороны AB. EC=AD. Доказать, что параллелограмм является прямоугольником

Давайте рассмотрим параллелограмм ABCD, где точка E является серединой стороны AB. Дано, что EC = AD. Мы должны доказать, что параллелограмм ABCD является прямоугольником.

1. Из определения параллелограмма известно, что противоположные стороны равны, то есть AB = CD и AD = BC.

2. Поскольку E - середина AB, то можем записать, что AE = EB = (1/2)AB.

3. Также, учитывая, что EC = AD, можно отметить, что отрезок EC делит сторону AD пополам, так как EC является также и отрезком, соединяющим точку E (середину AB) и точку C (параллельную к AD).

4. Теперь рассмотрим треугольники ABE и CDE. Мы знаем:

   • AE = EB по определению середины,
   • AD = EC (дано),
   • AB // CD и AE // DE (параллелограммы).

5. Следовательно, треугольники ABE и CDE равнобедренные (так как у них равны основания и один угол между ними в параллелограмме).

6. По свойству равнобедренного треугольника, углы при основаниях равны. Обозначим угол ABE как α и угол CDE как α. Тогда, угол ABC = α и угол ADC = α.

7. Поскольку сумма углов в прямолинейном угле равна 180 градусам, у нас есть:

   • угол ABC + угол BCD = 180°,
   • угол ADC + угол BAD = 180°.

8. Учитывая, что AB = CD, и углы равны (ABC = ADC) по найденным равенствам, можно выводить, что углы ABC и ADC находятся под соответствующими сторонами, значит они равны.

Таким образом, если углы между сторонами параллелограмма равны 90°, это означает, что ABCD является прямоугольником.

Итак, мы доказали, что параллелограмм ABCD с данными условиями является прямоугольником.