Для решения задачи о нахождении сторон прямоугольника, имеющего периметр 28 м и площадь 40 м², мы можем использовать алгебраический подход.
Обозначим длину и ширину прямоугольника как ( a ) и ( b ) соответственно. Мы знаем, что:
Периметр ( P ) прямоугольника равен:
[
P = 2(a + b) = 28
]
Из этого уравнения можем выразить сумму сторон:
[
a + b = 14 \quad (1)
]
Площадь ( S ) прямоугольника равна:
[
S = a \cdot b = 40 \quad (2)
]
Теперь мы имеем систему из двух уравнений (1) и (2), которую можно решить. Из уравнения (1) выразим одну из сторон, например, ( b ):
[
b = 14 - a \quad (3)
]
Теперь подставим выражение для ( b ) из (3) в уравнение (2):
[
a \cdot (14 - a) = 40
]
Решим это уравнение:
[
14a - a^2 = 40
]
Перепишем его в стандартной форме:
[
a^2 - 14a + 40 = 0
]
Теперь применим дискриминант для решения квадратного уравнения:
[
D = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 40 = 196 - 160 = 36
]
Корни уравнения находятся по формуле:
[
a = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 \pm 6}{2}
]
Теперь вычислим корни:
- ( a_1 = \frac{20}{2} = 10 )
- ( a_2 = \frac{8}{2} = 4 )
Теперь у нас есть два возможных значения для ( a ): 10 м и 4 м. Подставим их обратно в уравнение (3) для нахождения соответствующих значений ( b ):
- Если ( a = 10 ), то:
[
b = 14 - 10 = 4 \quad (длинна = 10 м, ширина = 4 м)
]
- Если ( a = 4 ), то:
[
b = 14 - 4 = 10 \quad (длинна = 4 м, ширина = 10 м)
]
Таким образом, стороны прямоугольника равны 10 м и 4 м.
