Обозначим длины отрезков ( AC ), ( CD ) и ( DB ) через ( x ), ( y ) и ( z ) соответственно. С учетом условия задачи, у нас есть:
[
x + y + z = 80 \quad (1)
]
Также известно, что расстояние между серединами крайних отрезков равно 56 см. Середина отрезка ( AC ) находится на расстоянии ( \frac{x}{2} ) от точки ( A ), а середина отрезка ( DB ) — на расстоянии ( 80 - \frac{z}{2} ) от точки ( A ).
Значит, расстояние между этими двумя серединами можно выразить следующим образом:
[
\left| \frac{x}{2} - (80 - \frac{z}{2}) \right| = 56
]
Решим это уравнение. Разложим его:
[
\frac{x}{2} - (80 - \frac{z}{2}) = 56 \quad \text{или} \quad \frac{x}{2} - (80 - \frac{z}{2}) = -56
]
Первый случай:
[
\frac{x}{2} - 80 + \frac{z}{2} = 56
]
Упрощаем:
[
\frac{x + z}{2} = 136 \Rightarrow x + z = 272 \quad (2)
]
Второй случай:
[
\frac{x}{2} - 80 + \frac{z}{2} = -56
]
Упрощаем:
[
\frac{x + z}{2} = 24 \Rightarrow x + z = 48 \quad (3)
]
Теперь у нас есть две системы уравнений (1) и (2), и (1) и (3). Но отрезки ( AC ) и ( DB ) не могут быть одинаковыми в длине.
Из уравнений (2) и (3):
[
x + y + z = 80 \
x + z = 272
]
Таким образом, подставим (2) в (1):
[
y = 80 - (272 - z) \Rightarrow y = z - 192 \text{ (что невозможно, так как } y > 0)
]
[
x + y + z = 80 \
x + z = 48
]
Подставляем (3) в (1):
[
y = 80 - 48 \Rightarrow y = 32
]
Получаем ( y = 32 ) и ( x + z = 48 ).
Таким образом, нам остается решить уравнение ( x + z = 48 ).
Теперь мы знаем длину отрезка ( CD ), которая равна ( y = 32 ).
Теперь можем найти вероятность того, что точка, выбранная на отрезке ( AB ), принадлежит отрезку ( CD ):
[
P = \frac{|CD|}{|AB|} = \frac{32}{80} = \frac{2}{5} = 0.4
]
Таким образом, вероятность того, что случайно выбранная точка принадлежит отрезку ( CD ), составляет:
[
\boxed{0.4}
]
