восоты,проведенные к боковым сторонам AB и AC остроугольного равнобедренного треугольника ABC,пересекаются в точке M.Найдите углы треугольника,если <BMC= 140

В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AB и сторонами AC и BC, проведём высоты AM и AN, где M и N – точки на сторонах AB и AC соответственно. Дано, что угол \( \angle BMC = 140^\circ \).

Поскольку треугольник ABC равнобедренный, углы при основании равны, то есть \( \angle ABC = \angle ACB \).

Обозначим угол при вершине A как \( \angle BAC = \alpha \). Таким образом, мы можем записать:

\[ \angle ABC + \angle ACB + \angle BAC = 180^\circ \]

То есть:

\[ \angle ABC + \angle ABC + \alpha = 180^\circ \]

Обозначив угол \( \angle ABC \) как \( \beta \), получаем:

\[ 2\beta + \alpha = 180^\circ \]

Из треугольника BMC, который образован высотой BM и стороной BC, используя данные о угле \( \angle BMC = 140^\circ \):

\[ \angle BMC = 180^\circ - \angle MBC - \angle BCM \]

Поскольку \( \angle MBC \) и \( \angle BCM \) это также углы при основании треугольника ABC, их можно выразить через \( \beta \):

\[ 140^\circ = 180^\circ - \beta - \beta \]

Следовательно:

\[ 140^\circ = 180^\circ - 2\beta \]

Решим это уравнение:

\[ 2\beta = 180^\circ - 140^\circ \] \[ 2\beta = 40^\circ \] \[ \beta = 20^\circ \]

Теперь, зная значение \( \beta \), мы можем найти угол \( \alpha \):

\[ 2 \times 20^\circ + \alpha = 180^\circ \] \[ 40^\circ + \alpha = 180^\circ \] \[ \alpha = 140^\circ \]

Таким образом, углы треугольника ABC составляют:

• Угол при вершине A: \( \angle BAC = 140^\circ \)
• Углы при основании B и C: \( \angle ABC = \angle ACB = 20^\circ \)

Правильный ответ: \( \angle BAC = 140^\circ \), \( \angle ABC = 20^\circ \), \( \angle ACB = 20^\circ \).