Чтобы решить уравнение ( \frac{9x + 3}{1 + 3x} = x - 7 ), начнем с того, чтобы избавиться от дроби. Умножим обе стороны уравнения на ( 1 + 3x ) (при условии, что ( 1 + 3x \neq 0 )):
[
9x + 3 = (x - 7)(1 + 3x)
]
Теперь раскроем скобки в правой части уравнения:
[
9x + 3 = x + 3x^2 - 7 - 21x
]
Упрощая правую часть, мы получаем:
[
9x + 3 = 3x^2 - 20x - 7
]
Теперь перенесем все члены в одну сторону уравнения:
[
0 = 3x^2 - 20x - 7 - 9x - 3
]
Это упростится до:
[
0 = 3x^2 - 29x - 10
]
Теперь можем решить квадратное уравнение ( 3x^2 - 29x - 10 = 0 ) с помощью дискриминанта. Находим дискриминант:
[
D = b^2 - 4ac = (-29)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-10) = 841 + 120 = 961
]
Теперь найдем корни с помощью формулы:
[
x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{29 \pm \sqrt{961}}{2 \cdot 3} = \frac{29 \pm 31}{6}
]
Теперь решим для двух случаев:
- ( x = \frac{29 + 31}{6} = \frac{60}{6} = 10 )
- ( x = \frac{29 - 31}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3} )
Таким образом, у нас есть два решения:
[
x_1 = 10 \quad \text{и} \quad x_2 = -\frac{1}{3}
]
Это значит, что уравнение ( \frac{9x + 3}{1 + 3x} = x - 7 ) имеет два решения: ( x = 10 ) и ( x = -\frac{1}{3} ).
