Давайте решим графические уравнения по порядку.
- Уравнение: ( \sqrt{x} - x^2 = 0 )
Для решения этого уравнения мы сначала выразим ( \sqrt{x} ):
[
\sqrt{x} = x^2
]
Теперь возводим обе стороны в квадрат, чтобы избавиться от корня:
[
x = (x^2)^2 = x^4
]
Теперь переработаем уравнение:
[
x^4 - x = 0
]
Можно вынести ( x ) за скобки:
[
x(x^3 - 1) = 0
]
Теперь у нас есть два решения:
- ( x = 0 )
- ( x^3 - 1 = 0 ) → ( x^3 = 1 ) → ( x = 1 )
Таким образом, решения уравнения ( \sqrt{x} - x^2 = 0 ) — это ( x = 0 ) и ( x = 1 ).
- Уравнение: ( x^2 + \sqrt{x} - 2 = 0 )
Чтобы решить это уравнение, выразим ( \sqrt{x} ):
[
\sqrt{x} = 2 - x^2
]
Возведем обе стороны в квадрат:
[
x = (2 - x^2)^2
]
Раскроем скобки:
[
x = 4 - 4x^2 + x^4
]
Приведем все члены к одной стороне:
[
x^4 - 5x^2 + 4 = 0
]
Теперь сделаем замену ( y = x^2 ):
[
y^2 - 5y + 4 = 0
]
Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
[
D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9
]
Теперь найдем корни:
[
y_1 = \frac{5 + 3}{2} = 4,\quad y_2 = \frac{5 - 3}{2} = 1
]
Теперь вернемся к ( x ):
- Для ( y_1 = 4, \quad x^2 = 4 ) → ( x = 2 ) или ( x = -2 ) (отбрасываем, так как ( \sqrt{x} ) не может быть отрицательным).
- Для ( y_2 = 1, \quad x^2 = 1 ) → ( x = 1 ) или ( x = -1 ) (отбрасываем).
Итак, решения уравнения ( x^2 + \sqrt{x} - 2 = 0 ) — это ( x = 2 ) и ( x = 1 ).
Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна помощь с другим материалом, пожалуйста, не стесняйтесь задавать!
