периметр прямоугольника равен 46, а площадь 120. Найдите диагональ этого пряиоугольника
Для начала, давайте обозначим сторону прямоугольника как \( a \) и \( b \). Мы знаем, что:
Периметр \( P \) прямоугольника равен 46: \[ P = 2(a + b) = 46 \] Из этого уравнения можно выразить сумму сторон: \[ a + b = 23 \quad (1) \]
Площадь \( S \) прямоугольника равна 120: \[ S = a \cdot b = 120 \quad (2) \]
Теперь у нас есть система из двух уравнений, и мы можем использовать их для нахождения сторон прямоугольника. Из уравнения (1) выразим одну сторону через другую: \[ b = 23 - a \]
Теперь подставим это выражение во второе уравнение (2): \[ a \cdot (23 - a) = 120 \] Раскроем скобки: \[ 23a - a^2 = 120 \] Перепишем уравнение, чтобы привести его к стандартному виду: \[ a^2 - 23a + 120 = 0 \]
Теперь можем решить это квадратное уравнение с помощью формулы дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-23)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 120 = 529 - 480 = 49 \] Поскольку дискриминант положительный, у уравнения два решения: \[ a = \frac{-(-23) \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{23 \pm 7}{2} \] Это дает нам два значения: \[ a_1 = \frac{30}{2} = 15 \quad и \quad a_2 = \frac{16}{2} = 8 \]
Таким образом, стороны прямоугольника равны \( a = 15 \) и \( b = 8 \).
Теперь, чтобы найти диагональ \( d \) прямоугольника, воспользуемся теоремой Пифагора: \[ d = \sqrt{a^2 + b^2} \]
Подставим значения: \[ d = \sqrt{15^2 + 8^2} = \sqrt{225 + 64} = \sqrt{289} = 17 \]
Таким образом, диагональ этого прямоугольника равна 17.
