Для начала, давайте обозначим сторону прямоугольника как ( a ) и ( b ). Мы знаем, что:
Периметр ( P ) прямоугольника равен 46:
[
P = 2(a + b) = 46
]
Из этого уравнения можно выразить сумму сторон:
[
a + b = 23 \quad (1)
]
Площадь ( S ) прямоугольника равна 120:
[
S = a \cdot b = 120 \quad (2)
]
Теперь у нас есть система из двух уравнений, и мы можем использовать их для нахождения сторон прямоугольника. Из уравнения (1) выразим одну сторону через другую:
[
b = 23 - a
]
Теперь подставим это выражение во второе уравнение (2):
[
a \cdot (23 - a) = 120
]
Раскроем скобки:
[
23a - a^2 = 120
]
Перепишем уравнение, чтобы привести его к стандартному виду:
[
a^2 - 23a + 120 = 0
]
Теперь можем решить это квадратное уравнение с помощью формулы дискриминанта:
[
D = b^2 - 4ac = (-23)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 120 = 529 - 480 = 49
]
Поскольку дискриминант положительный, у уравнения два решения:
[
a = \frac{-(-23) \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{23 \pm 7}{2}
]
Это дает нам два значения:
[
a_1 = \frac{30}{2} = 15 \quad и \quad a_2 = \frac{16}{2} = 8
]
Таким образом, стороны прямоугольника равны ( a = 15 ) и ( b = 8 ).
Теперь, чтобы найти диагональ ( d ) прямоугольника, воспользуемся теоремой Пифагора:
[
d = \sqrt{a^2 + b^2}
]
Подставим значения:
[
d = \sqrt{15^2 + 8^2} = \sqrt{225 + 64} = \sqrt{289} = 17
]
Таким образом, диагональ этого прямоугольника равна 17.
