Чтобы найти корни данных уравнений, начнем с первого уравнения:
(\frac{2y + 3}{2y - 1} = \frac{y - 5}{y + 3}).
Для решения этого уравнения можно воспользоваться методом перекрестного умножения:
((2y + 3)(y + 3) = (y - 5)(2y - 1)).
Раскроем скобки:
(2y^2 + 6y + 3y + 9 = 2y^2 - y - 10y + 5),
(2y^2 + 9y + 9 = 2y^2 - 11y + 5).
Теперь перенесем все в одну сторону:
(2y^2 + 9y + 9 - 2y^2 + 11y - 5 = 0),
что упрощается до:
(20y + 4 = 0).
Теперь решим уравнение:
(20y = -4),
(y = -\frac{4}{20} = -\frac{1}{5}).
Теперь перейдем ко второму уравнению:
(\frac{5y + 1}{y + 1} = \frac{y + 2}{y}).
Аналогично начнем с перекрестного умножения:
((5y + 1) \cdot y = (y + 2)(y + 1)).
Раскроем скобки:
(5y^2 + y = y^2 + y + 2y + 2),
(5y^2 + y = y^2 + 3y + 2).
Переносим все в одну сторону:
(5y^2 + y - y^2 - 3y - 2 = 0),
(4y^2 - 2y - 2 = 0).
Теперь упростим уравнение:
(2y^2 - y - 1 = 0).
Для решения воспользуемся формулой квадратного уравнения:
(y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}),
где (a = 2), (b = -1), (c = -1).
Находим дискриминант:
(D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9).
Теперь находим корни:
(y = \frac{1 \pm 3}{4}),
что дает два решения:
- (y = \frac{4}{4} = 1),
- (y = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}).
Таким образом, корни уравнений:
- Первое уравнение: (y = -\frac{1}{5}).
- Второе уравнение: (y = 1) и (y = -\frac{1}{2}).
