Для решения задачи начнем с обозначений. Пусть одно из чисел — это ( x ). Тогда другое число будет ( x - 8 ), так как одно число на 8 меньше другого.
Согласно условию, произведение этих двух чисел равно 84. Мы можем записать это в виде уравнения:
[
x \cdot (x - 8) = 84
]
Теперь раскроем скобки:
[
x^2 - 8x = 84
]
Переносим 84 в левую часть уравнения:
[
x^2 - 8x - 84 = 0
]
Теперь мы можем решить это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Для квадратного уравнения ( ax^2 + bx + c = 0 ) дискриминант ( D ) вычисляется по формуле:
[
D = b^2 - 4ac
]
В нашем случае ( a = 1 ), ( b = -8 ), ( c = -84 ):
[
D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-84) = 64 + 336 = 400
]
Теперь находим корни уравнения, используя формулу:
[
x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}
]
Подставляем значения:
[
x = \frac{8 \pm \sqrt{400}}{2 \cdot 1} = \frac{8 \pm 20}{2}
]
Теперь вычислим два возможных значения для ( x ):
- ( x_1 = \frac{8 + 20}{2} = \frac{28}{2} = 14 )
- ( x_2 = \frac{8 - 20}{2} = \frac{-12}{2} = -6 )
Так как числа в задаче должны быть положительными, возьмем только ( x_1 = 14 ).
Теперь находим второе число:
[
x - 8 = 14 - 8 = 6
]
Таким образом, искомые числа: ( 14 ) и ( 6 ).
Ответ: числа 14 и 6.
