Сумма квадратов двух последовательности натуральных чисел равна 365. Найдите эти числа
Чтобы найти два последовательных натуральных числа, сумма квадратов которых равна 365, можно обозначить эти числа как \( n \) и \( n + 1 \). Тогда у нас есть уравнение:
\[ n^2 + (n + 1)^2 = 365 \]
Раскроем скобки:
\[ n^2 + (n^2 + 2n + 1) = 365 \]
Объединим подобные члены:
\[ 2n^2 + 2n + 1 = 365 \]
Теперь вычтем 365 из обеих сторон:
\[ 2n^2 + 2n + 1 - 365 = 0 \]
Упростим уравнение:
\[ 2n^2 + 2n - 364 = 0 \]
Теперь разделим всё уравнение на 2:
\[ n^2 + n - 182 = 0 \]
Решим квадратное уравнение, используя формулу нахождения корней:
\[ n = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{2a} \]
где \( a = 1 \), \( b = 1 \), \( c = -182 \). Подставим значения:
\[ n = \frac{{-1 \pm \sqrt{{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-182)}}}}{2 \cdot 1} \]
Вычислим дискриминант:
\[ 1 + 728 = 729 \]
Теперь найдем корень из дискриминанта:
\[ \sqrt{729} = 27 \]
Теперь подставим обратно в формулу:
\[ n = \frac{{-1 \pm 27}}{2} \]
Мы получаем два возможных значения для \( n \):
- \( n = \frac{{26}}{2} = 13 \)
- \( n = \frac{{-28}}{2} = -14 \) (не подходим, так как числа натуральные)
Таким образом, \( n = 13 \) и \( n + 1 = 14 \).
Ответ: последовательные натуральные числа — 13 и 14.
