Найдите объем правильной четырёхугольной пирамиды, апофема которой равна 16 см и образует с плоскостью основания угол 30°

Объем правильной четырёхугольной пирамиды можно найти по формуле:

\[ V = \frac{1}{3} \cdot S \cdot h \]

где \( V \) — объем пирамиды, \( S \) — площадь основания, \( h \) — высота.

Для правильной четырёхугольной пирамиды основанием является квадрат. Сначала найдем высоту \( h \) и сторону основания \( a \).

Дано, что апофема \( l = 16 \) см и угол между апофемой и плоскостью основания составляет 30°. Из этого угла можем выразить высоту \( h \) следующим образом:

\[ h = l \cdot \cos(\theta) \] где \( \theta = 30° \).

Подставим значения:

\[ h = 16 \cdot \cos(30°) = 16 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 8\sqrt{3} \text{ см} \]

Затем найдем сторону \( a \) квадрата. Поскольку пирамида правильная, для нахождения стороны квадрата используется синус угла:

\[ a = 2 \cdot l \cdot \sin(\theta) \] \[ a = 2 \cdot 16 \cdot \sin(30°) = 2 \cdot 16 \cdot \frac{1}{2} = 16 \text{ см} \]

Теперь найдем площадь основания \( S \):

\[ S = a^2 = 16^2 = 256 \text{ см}^2 \]

Теперь можем подставить всё в формулу для объема:

\[ V = \frac{1}{3} \cdot S \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 256 \cdot 8\sqrt{3} \]

Проведем расчеты:

\[ V = \frac{1}{3} \cdot 2048\sqrt{3} = \frac{2048\sqrt{3}}{3} \text{ см}^3 \]

Таким образом, объем данной правильной четырёхугольной пирамиды составляет \( \frac{2048\sqrt{3}}{3} \) см³.