Для решения этой задачи мы можем воспользоваться законом Бойля-Мариотта и уравнением состояния идеального газа. При увеличении температуры идеального газа, объем газа тоже должен изменяться, если поршень свободно движется и поддерживается атмосферным давлением.
Ключевым моментом является то, что для идеального газа отношение давления, объема и температуры можно записать в следующем виде:
[ \frac{P_1 \cdot V_1}{T_1} = \frac{P_2 \cdot V_2}{T_2}, ]
где:
- ( P_1, V_1, T_1 ) — начальное давление, объем и температура,
- ( P_2, V_2, T_2 ) — конечное давление, объем и температура.
Мы предполагаем, что давление здесь остается постоянным (атмосферное), поскольку поршень может двигаться. Таким образом, можно упростить уравнение:
[ \frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}. ]
Температуры должны быть в Кельвинах:
- Начальная температура ( T_1 = 27°C = 300 , K ),
- Конечная температура ( T_2 = 127°C = 400 , K ).
Теперь подставим значения в уравнение:
[ \frac{V_1}{300} = \frac{V_2}{400}. ]
Обозначим начальный объем, который связан с положением поршня, как ( V_1 = S \cdot h_1 ), где ( S ) — площадь основания цилиндра, и ( h_1 ) — начальная высота поршня (30 см или 0.3 м).
Для конечного состояния объем будет:
[ V_2 = S \cdot h_2, ]
где ( h_2 ) — высота поршня, которую мы ищем. Подставив это в уравнение, мы исключим площадь ( S ):
[ \frac{0.3}{300} = \frac{h_2}{400}. ]
Теперь решим это уравнение для ( h_2 ):
[ h_2 = 0.3 \cdot \frac{400}{300} = 0.3 \cdot \frac{4}{3} = 0.4 , \text{м} = 40 , \text{см}. ]
Таким образом, поршень поднимется до расстояния 40 см от дна цилиндра, когда газ будет нагрет до 127 °C.
