В треугольнике ABC угол B прямой. Найдите AB, если tgA=√19:9, AC=10

В треугольнике ABC угол B является прямым, что означает, что он равен 90 градусов. У нас есть два угла: угол A и угол C. Мы знаем, что тангенс угла A равен \(\frac{\text{противоположная сторона}}{\text{прилагающая сторона}}\).

В данном случае, противолежащая сторона угла A — это сторона BC, а прилагающая сторона — это сторона AB. Из условия задачи нам дано, что \(\tan A = \frac{\sqrt{19}}{9}\). Это можно записать как:

\[ \tan A = \frac{BC}{AB} = \frac{\sqrt{19}}{9}. \]

Согласно теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, у нас существует связь между сторонами:

\[ AC^2 = AB^2 + BC^2, \]

где AC — гипотенуза.

Поскольку AC = 10, мы можем записать:

\[ 10^2 = AB^2 + BC^2 \quad \Rightarrow \quad 100 = AB^2 + BC^2. \]

Теперь выразим BC через AB, используя тангенс угла A:

\[ BC = AB \cdot \tan A = AB \cdot \frac{\sqrt{19}}{9}. \]

Подставим это значение в уравнение Пифагора:

\[ 100 = AB^2 + \left(AB \cdot \frac{\sqrt{19}}{9}\right)^2. \]

Решим это уравнение:

\[ 100 = AB^2 + AB^2 \cdot \frac{19}{81}. \]

Соберем все члены с \(AB^2\):

\[ 100 = AB^2 \left(1 + \frac{19}{81}\right) = AB^2 \cdot \frac{100}{81}. \]

Теперь умножим обе стороны на \(\frac{81}{100}\):

\[ AB^2 = 100 \cdot \frac{81}{100} = 81 \quad \Rightarrow \quad AB = \sqrt{81} = 9. \]

Таким образом, мы нашли, что \(AB = 9\).