В треугольнике ABC угол B является прямым, что означает, что он равен 90 градусов. У нас есть два угла: угол A и угол C. Мы знаем, что тангенс угла A равен (\frac{\text{противоположная сторона}}{\text{прилагающая сторона}}).
В данном случае, противолежащая сторона угла A — это сторона BC, а прилагающая сторона — это сторона AB. Из условия задачи нам дано, что (\tan A = \frac{\sqrt{19}}{9}). Это можно записать как:
[
\tan A = \frac{BC}{AB} = \frac{\sqrt{19}}{9}.
]
Согласно теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, у нас существует связь между сторонами:
[
AC^2 = AB^2 + BC^2,
]
где AC — гипотенуза.
Поскольку AC = 10, мы можем записать:
[
10^2 = AB^2 + BC^2 \quad \Rightarrow \quad 100 = AB^2 + BC^2.
]
Теперь выразим BC через AB, используя тангенс угла A:
[
BC = AB \cdot \tan A = AB \cdot \frac{\sqrt{19}}{9}.
]
Подставим это значение в уравнение Пифагора:
[
100 = AB^2 + \left(AB \cdot \frac{\sqrt{19}}{9}\right)^2.
]
Решим это уравнение:
[
100 = AB^2 + AB^2 \cdot \frac{19}{81}.
]
Соберем все члены с (AB^2):
[
100 = AB^2 \left(1 + \frac{19}{81}\right) = AB^2 \cdot \frac{100}{81}.
]
Теперь умножим обе стороны на (\frac{81}{100}):
[
AB^2 = 100 \cdot \frac{81}{100} = 81 \quad \Rightarrow \quad AB = \sqrt{81} = 9.
]
Таким образом, мы нашли, что (AB = 9).
